Um capacitor de placas planas e paralelas de área
possui um material de constante dielétrica
e resistividade
preenchendo todo o seu interior. Esse material não é perfeitamente isolante, de forma que ele permite a passagem de uma corrente elétrica de uma placa para a outra, descarregando gradualmente o capacitor. Suponha que a separação entre as placas é muito menor que as suas dimensões, de forma que elas podem ser tratadas como infinitas.
(e) Haverá campo magnético no interior do dielétrico enquanto o capacitor é descarregado? Discuta.
(e) Haverá campo magnético no interior do dielétrico enquanto o capacitor é descarregado? Discuta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala de um capacitor de placas paralelas, área
, separação
, preenchido por um dielétrico de constante
e resistividade
. Como o dielétrico não isola perfeitamente, surge uma corrente de fuga quando o capacitor descarrega. A pergunta (e) é: “Enquanto ele está descarregando, existe campo magnético dentro desse dielétrico?”.
Conteúdo que vamos usar: Lei de Ampère–Maxwell, corrente de condução (por resistividade finita) e corrente de deslocamento (por variação de campo elétrico).
Conteúdo que vamos usar: Lei de Ampère–Maxwell, corrente de condução (por resistividade finita) e corrente de deslocamento (por variação de campo elétrico).
Passo 2
Antes de tudo, lembra da Lei de Ampère–Maxwell em forma integral:
onde
-
-
Como estamos dentro de um dielétrico, podemos escrever
Passo 3
Vamos escolher um contorno
circular de raio
(no plano paralelo às placas), bem no meio do dielétrico. A simetria diz que
é tangencial e de mesma intensidade em todo
, então
A corrente de condução total passando pelo disco de raio
Como a tensão cai no tempo,
também varia. E a corrente de deslocamento (maxwelliana) é equivalente a
Na verdade, durante a descarga há tanto
Passo 4
Substituindo na lei de Ampère–Maxwell:
Se quisermos só ver que há campo
$$I_{\rm cond}^{\rm (enc)}+I_{\rm disp}
=\bigl(\sigma E + \varepsilon,\dot E\bigr),\pi r^2
\quad\Longrightarrow\quad
B®=\frac{\mu_0,\pi r^2}{2\pi r},\bigl(\sigma E+\varepsilon\dot E\bigr)
\quad\Longrightarrow\quad
B®=\frac{\mu_0,\pi r^2}{2\pi r},\bigl(\sigma E+\varepsilon\dot E\bigr)
=\frac{\mu_0,r}{2},\bigl(\sigma E+\varepsilon\dot E\bigr),. $$
Resposta
Sim! Enquanto o capacitor está descarregando, há corrente fluindo pelo dielétrico (tanto de condução quanto de deslocamento), e qualquer corrente gera campo magnético segundo a Lei de Ampère–Maxwell. Portanto, dentro do dielétrico existe
até a descarga terminar.