Um capacitor de placas planas e paralelas de área A possui um material de constante dielétrica K e resistividade rho preenchendo todo o seu interior. Esse material não é perfeitamente isolante, de forma que ele permite a passagem de uma corrente elétrica de uma placa para a outra, descarregando gradualmente o capacitor. Suponha que a separação entre as placas é muito menor que as suas dimensões, de forma que elas podem ser tratadas como infinitas.
(e) Haverá campo magnético no interior do dielétrico enquanto o capacitor é descarregado? Discuta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala de um capacitor de placas paralelas, área A, separação dllraiz A, preenchido por um dielétrico de constante K e resistividade rho. Como o dielétrico não isola perfeitamente, surge uma corrente de fuga quando o capacitor descarrega. A pergunta (e) é: “Enquanto ele está descarregando, existe campo magnético dentro desse dielétrico?”.
Conteúdo que vamos usar: Lei de Ampère–Maxwell, corrente de condução (por resistividade finita) e corrente de deslocamento (por variação de campo elétrico).

Passo 2

Antes de tudo, lembra da Lei de Ampère–Maxwell em forma integral:
ointC Bcdot d l = mu0,Irm cond^rm (enc) + mu0varepsilon0,dPhiEdt,,
onde
- Irm cond^rm (enc) é a corrente de condução que atravessa a superfície limitada por C,
- PhiE=integral duplaS Ecdot d A é o fluxo do campo elétrico.
Como estamos dentro de um dielétrico, podemos escrever varepsilon=varepsilon0K e incluir tanto a corrente de condução J=sigma E (com sigma=1/rho) quanto a corrente de deslocamento JD=varepsilon,partial E/partial t.

Passo 3

Vamos escolher um contorno C circular de raio r (no plano paralelo às placas), bem no meio do dielétrico. A simetria diz que B é tangencial e de mesma intensidade em todo C, então
ointC B,dl = B(r),(2pi r),
A corrente de condução total passando pelo disco de raio r é
Irm cond^rm (enc) = Jcdot (pi r^2) = sigma E(t),pi r^2,
Como a tensão cai no tempo, E(t)=V(t)/d também varia. E a corrente de deslocamento (maxwelliana) é equivalente a
Irm disp=varepsilon,dPhiEdt = varepsilon,ddtl[E(t),(pi r^2)r],
Na verdade, durante a descarga há tanto Irm cond quanto Irm disp, mas ambos fluem na mesma direção e se somam no lado direito da Ampère–Maxwell.

Passo 4

Substituindo na lei de Ampère–Maxwell:
B(r),(2pi r) = mu0;Irm cond^rm (enc) ;+;mu0,Irm disp,
Se quisermos só ver que há campo !Bneq0!, basta notar que enquanto o capacitor descarrega E(t) muda, logo Irm cond e/ou Irm disp são não nulos. Então o lado direito é neq0, forçando B(r)neq0. Se você quiser o valor “expritadinho”, pode obter:
$$I_{\rm cond}^{\rm (enc)}+I_{\rm disp}
=\bigl(\sigma E + \varepsilon,\dot E\bigr),\pi r^2
\quad\Longrightarrow\quad
B®=\frac{\mu_0,\pi r^2}{2\pi r},\bigl(\sigma E+\varepsilon\dot E\bigr)
=\frac{\mu_0,r}{2},\bigl(\sigma E+\varepsilon\dot E\bigr),. $$

Resposta

Sim! Enquanto o capacitor está descarregando, há corrente fluindo pelo dielétrico (tanto de condução quanto de deslocamento), e qualquer corrente gera campo magnético segundo a Lei de Ampère–Maxwell. Portanto, dentro do dielétrico existe Bneq0 até a descarga terminar.

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