Um capacitor de placas planas e paralelas possui capacitância de 8,0 \mathrm{nF}, sendo as placas de área 1,51 \mathrm{~m}^{2} separadas de 10,0 \mathrm{~mm}. Qual é a distância necessária para obter a
mesma capacitância se o dielétrico for substituído pelo vácuo?

Passo 1

O enunciado dá um capacitor de placas paralelas com capacitância e geometria conhecidas e pede a nova separação quando o dielétrico é substituído por vácuo. Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
C=8{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{F},
A=1{,}51\\ \mathrm{m}^{2},
d_{1}=10{,}0\\ \mathrm{mm}=0{,}0100\\ \mathrm{m}.
Pergunta: qual deve ser a nova distância d_{2} entre as placas para que, com vácuo entre elas, a capacitância permaneça igual a C?

Passo 2

Fórmula básica para um capacitor de placas paralelas com um dielétrico homogêneo:
C=\varepsilon \frac{A}{d}=\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}\frac{A}{d}.
Expliquei cada símbolo:
  • \(C) é a capacitância em farads.
  • \(A) é a área das placas em metros quadrados.
  • \(d) é a separação entre as placas em metros.
  • \(\varepsilon) é a permissividade do meio entre as placas; para um dielétrico \(\varepsilon=\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}).
  • \(\varepsilon_{0}) é a permissividade do vácuo, \(\varepsilon_{0}=8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}).
  • \(\varepsilon_{r}) é a constante dielétrica relativa (adimensional) do material entre as placas.
Estratégia: primeiro obter a constante dielétrica relativa \varepsilon_{r} do material original usando C, A, d_{1}; depois usar que no vácuo \varepsilon_{r}=1 e calcular d_{2} tal que C permaneça o mesmo.

Passo 3

Isolamos \varepsilon_{r} da fórmula:
\varepsilon_{r}=\frac{C d_{1}}{\varepsilon_{0}A}.
Substituindo os valores (todos em unidades do SI):
\varepsilon_{r}=\frac{8{,}0\times10^{-9}\times0{,}0100}{8{,}854187817\times10^{-12}\times1{,}51}.
Faço as contas em duas partes: numerador e denominador.
Numerador:
8{,}0\times10^{-9}\times0{,}0100=8{,}0\times10^{-11}.
Denominador:
8{,}854187817\times10^{-12}\times1{,}51=1{,}3370823596\times10^{-11}\\ (\text{aprox.}).
Agora a razão:
\varepsilon_{r}\approx\frac{8{,}0\times10^{-11}}{1{,}3370823596\times10^{-11}}\approx5{,}98.
Interpretação: o dielétrico original tem \varepsilon_{r}\approx5{,}98 (aproximadamente 6), o que faz sentido para certos dielétricos.

Passo 4

Para o vácuo temos \varepsilon_{r}=1. Queremos d_{2} tal que
C=\varepsilon_{0}\frac{A}{d_{2}}.
Isolando d_{2} obtemos duas formas equivalentes; uso a mais direta:
d_{2}=\frac{\varepsilon_{0}A}{C}.
Outra forma, usando a relação entre as duas situações, é d_{2}=\dfrac{d_{1}}{\varepsilon_{r}}. Ambas dão o mesmo resultado; vou usar a segunda para aproveitar o \varepsilon_{r} já calculado.

Passo 5

Usando d_{2}=\dfrac{d_{1}}{\varepsilon_{r}}:
d_{2}=\frac{0{,}0100}{5{,}983\ldots}\approx0{,}001671\\ \mathrm{m}.
Converto para milímetros (multiplico por 1000):
d_{2}\approx1{,}67\\ \mathrm{mm}.

Resposta

1{,}67\\ \mathrm{mm}

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