Um capacitor plano ideal, que possui as duas placas de área A separadas por uma distância d, está ligado a um circuito que é percorrido, a partir do instante inicial t=0, por uma corrente elétrica alternada de intensidade dada por I(t)=I0 cos (2 pi f t) sendo I0 e f constantes positivas. Assumindo que inicialmente o capacitor se encontrava descarregado, então podemos concluir que a energia elétrica Uc acumulada no capacitor até o instante t0=1 /(4 f) será:
(a) Uc=I0^2 d2 pi epsilon0 A f^2
(b) Uc=I0^2 A16 pi^2 epsilon0 d^3 f^2.
© Uc=I0^2 d12 pi^3 epsilon0 A f^2.
(d) Uc=I0^2 d10 pi epsilon0 A f^2.
(e) Uc=I0^2 A4 pi^2 epsilon0 d^3 f^2
(f) Uc=I0^2 d27 pi^3 epsilon0 A f^2.
(g) Uc=I0^2 d8 pi^2 epsilon0 A f^2.
(h) Uc=I0^2 Api^4 epsilon0 d^3 f^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um capacitor plano ideal com duas placas de área separadas por uma distância . Esse capacitor está ligado a um circuito que tem uma corrente alternada cuja intensidade é dada por , onde e são constantes positivas. Inicialmente, o capacitor está descarregado. Queremos descobrir qual é a energia elétrica acumulada no capacitor até o tempo . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de capacitores em circuitos de corrente alternada, relações entre corrente, carga e voltagem, além da fórmula da energia armazenada em um capacitor. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a corrente elétrica I(t) = dQ(t)dt é a taxa de variação da carga no capacitor em relação ao tempo. Matematicamente, isso é expresso por:
Como , podemos integrar essa expressão para encontrar a carga no capacitor.

Passo 3

Integrando a expressão da corrente para obter a carga:
Q(t) = integral I(t) , dt = integral I0 cos(2pi f t) , dt
A integral de Q(t) = I02pi f sin(2pi f t) + C é Q(t) = I02pi f sin(2pi f t) , então:
Como inicialmente (capacitor descarregado), a constante de integração . Portanto:

Passo 4

Agora, sabemos que a tensão V(t) = Q(t)C no capacitor está relacionada à carga C = epsilon0 Ad e à capacitância pela fórmula:
Primeiro, precisamos encontrar a capacitância do capacitor plano. A capacitância de um capacitor de placas paralelas é dada por:
Onde é a permissividade do vácuo, é a área das placas e é a distância entre elas.

Passo 5

Substituindo V(t) = I02pi f sin(2pi f t)epsilon0 Ad = I0 d2pi epsilon0 A f sin(2pi f t) e na expressão para :

Passo 6

A energia armazenada em um capacitor é dada por:
Uc = 12 C V(t)^2
Vamos substituir Uc = 12 cdot epsilon0 Ad ( I0 d2pi epsilon0 A f sin(2pi f t) )^2 e nessa equação:

Passo 7

Simplificando a expressão:
Uc = 12 cdot epsilon0 Ad cdot I0^2 d^24pi^2 epsilon0^2 A^2 f^2 sin^2(2pi f t)
Uc = 12 cdot I0^2 d4pi^2 epsilon0 A f^2 sin^2(2pi f t)
Uc = I0^2 d8pi^2 epsilon0 A f^2 sin^2(2pi f t)

Passo 8

Agora, vamos calcular a energia até o instante Uc(t0) = I0^2 d8pi^2 epsilon0 A f^2 sin^2(2pi f cdot 14f) :
2pi f cdot 14f = pi2
Simplificando o argumento do seno:
Uc(t0) = I0^2 d8pi^2 epsilon0 A f^2 cdot 1^2 = I0^2 d8pi^2 epsilon0 A f^2
E sabemos que . Então:

Resposta

A energia elétrica acumulada no capacitor até o instante Uc = I0^2 d8pi^2 epsilon0 A f^2 é:
Isso corresponde à alternativa (g).

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