Um capacitor plano ideal, que possui as duas placas de área
separadas por uma distância
, está ligado a um circuito que é percorrido, a partir do instante inicial
, por uma corrente elétrica alternada de intensidade dada por
sendo
e
constantes positivas. Assumindo que inicialmente o capacitor se encontrava descarregado, então podemos concluir que a energia elétrica
acumulada no capacitor até o instante
será:
(a)
(b)
.
©
.
(d)
.
(e)
(f)
.
(g)
.
(h)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um capacitor plano ideal com duas placas de área
separadas por uma distância
. Esse capacitor está ligado a um circuito que tem uma corrente alternada cuja intensidade é dada por
, onde
e
são constantes positivas. Inicialmente, o capacitor está descarregado. Queremos descobrir qual é a energia elétrica
acumulada no capacitor até o tempo
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de capacitores em circuitos de corrente alternada, relações entre corrente, carga e voltagem, além da fórmula da energia armazenada em um capacitor. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a corrente elétrica
é a taxa de variação da carga
no capacitor em relação ao tempo. Matematicamente, isso é expresso por:
Como
, podemos integrar essa expressão para encontrar a carga
no capacitor.
Passo 3
Integrando a expressão da corrente para obter a carga:
A integral de
é
, então:
Como inicialmente
(capacitor descarregado), a constante de integração
. Portanto:
Passo 4
Agora, sabemos que a tensão
no capacitor está relacionada à carga
e à capacitância
pela fórmula:
Primeiro, precisamos encontrar a capacitância
do capacitor plano. A capacitância de um capacitor de placas paralelas é dada por:
Onde
é a permissividade do vácuo,
é a área das placas e
é a distância entre elas.
Passo 5
Substituindo
e
na expressão para
:
Passo 6
A energia armazenada em um capacitor é dada por:
Vamos substituir
e
nessa equação:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Passo 8
Agora, vamos calcular a energia até o instante
:
Simplificando o argumento do seno:
E sabemos que
. Então:
Resposta
A energia elétrica acumulada no capacitor até o instante
é:
Isso corresponde à alternativa (g).