Considere uma esfera maciça de raio
, carregada com uma densidade volumar de carga dada por
, onde
é uma constante positiva, e
é a distância radial ao centro da esfera. Determine o campo elétrico no interior da esfera.
(a)
.
(b)
.
©
.
(d)
.
(e)
.
(f)
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma esfera carregada de raio
com uma densidade de carga que varia conforme a distância ao centro, dada por
. O que precisamos encontrar é o campo elétrico
dentro dessa esfera. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss da Eletrostática, que relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total dentro dessa superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que:
Onde:
-
é o fluxo elétrico através da superfície fechada. -
é a carga total dentro dessa superfície. -
é a permissividade do vácuo.
Como a esfera tem simetria esférica, o campo elétrico
vai ser radial e ter a mesma magnitude em todas as direções a uma certa distância
do centro. Então, a superfície de Gauss será uma esfera de raio
dentro da esfera maior.
Passo 3
Agora, vamos calcular
, a carga dentro da esfera de raio
. A densidade de carga é
. Para encontrar a carga total, integramos a densidade sobre o volume até o raio
:
Substituindo
:
Passo 4
Vamos resolver essa integral passo a passo:
Integrando termo a termo:
Substituindo os limites:
Passo 5
Agora que temos
, vamos aplicar a Lei de Gauss. A superfície de Gauss é uma esfera de raio
, então a área é
. Assim:
Simplificando os
:
Passo 6
Para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
Fatorando
:
Resposta
A expressão correta para o campo elétrico no interior da esfera é:
Alternativa ©