Considere uma esfera maciça de raio R, carregada com uma densidade volumar de carga dada por rho(r)=rho0(1-r / R), onde rho0 é uma constante positiva, e r é a distância radial ao centro da esfera. Determine o campo elétrico no interior da esfera.
(a) rho0 repsilon0(13-r4 R) r.
(b) rho0 r^24 epsilon0 R tilder.
© rho0 repsilon0(12-r4 R) r.
(d) rho0 repsilon0(13+Rr) r.
(e) rho0 repsilon0(13-Rr) r.
(f) rho0 repsilon0(1-r4 R) r.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma esfera carregada de raio com uma densidade de carga que varia conforme a distância ao centro, dada por . O que precisamos encontrar é o campo elétrico dentro dessa esfera. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss da Eletrostática, que relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total dentro dessa superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que:
oint E cdot dA = Qencvarepsilon0
Onde:
  • é o fluxo elétrico através da superfície fechada.
  • é a carga total dentro dessa superfície.
  • é a permissividade do vácuo.
Como a esfera tem simetria esférica, o campo elétrico vai ser radial e ter a mesma magnitude em todas as direções a uma certa distância do centro. Então, a superfície de Gauss será uma esfera de raio dentro da esfera maior.

Passo 3

Agora, vamos calcular Qenc = integral0^r rho(r') cdot 4pi r'^2 dr' , a carga dentro da esfera de raio Qenc = rho0 integral0^r (1 - r'R) cdot 4pi r'^2 dr' . A densidade de carga é . Para encontrar a carga total, integramos a densidade sobre o volume até o raio :
Substituindo :

Passo 4

Vamos resolver essa integral passo a passo:
Qenc = 4pi rho0 integral0^r (r'^2 - r'^3R) dr'
Integrando termo a termo:
Qenc = 4pi rho0 [ r'^33 - r'^44R ]0^r
Substituindo os limites:
Qenc = 4pi rho0 ( r^33 - r^44R )

Passo 5

Agora que temos E(r) cdot 4pi r^2 = 4pi rho0 ( r^33 - r^44R )varepsilon0 , vamos aplicar a Lei de Gauss. A superfície de Gauss é uma esfera de raio E(r) cdot r^2 = rho0varepsilon0 ( r^33 - r^44R ) , então a área é . Assim:
Simplificando os :

Passo 6

Para isolar E(r) = rho0varepsilon0 ( r3 - r^24R ) , dividimos ambos os lados por E(r) = rho0 rvarepsilon0 ( 13 - r4R ) :
Fatorando :

Resposta

A expressão correta para o campo elétrico no interior da esfera é:
E(r) = rho0 rvarepsilon0(13 - r4 R) r
Alternativa ©

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