Um capacitor possui uma carga q_{0} e uma capacitância C. Este capacitor é ligado a uma bobina de indutância L. Desprezando a resistência da bobina e dos fios, determine a diferença de fase entre a corrente e a tensão.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • A capacitância do capacitor é C.
    • A carga inicial no capacitor é q_{0}.
    • A indutância da bobina é L.
    • A resistência dos fios e da bobina é desprezível (circuito ideal, sem amortecimento).
  • O que é pedido:
    • Determinar a diferença de fase entre a corrente e a tensão no circuito após a conexão do capacitor com a bobina.

Passo 2

Definir as variáveis e escrever a equação que descreve o circuito.
  • Definições:
    • q(t) é a carga no capacitor em função do tempo.
    • i(t) é a corrente no circuito em função do tempo. Por definição elétrica, a corrente é a taxa de variação da carga:
    i(t)=\frac{dq(t)}{dt}.
    • A tensão no capacitor é dada por v_C(t)=\dfrac{q(t)}{C}. Aqui v_C tem unidades de volts, q de coulombs e C de farads.
  • Aplicando a lei das malhas (KVL) no circuito ideal L–C: a queda de tensão na bobina mais a queda no capacitor devem somar zero. A tensão na bobina é L\,\dfrac{di}{dt}. Portanto: L\frac{di(t)}{dt} + v_C(t) = 0.
  • Substituindo i(t)=\dfrac{dq}{dt} e v_C(t)=\dfrac{q(t)}{C}, obtemos uma equação para q(t): L\frac{d^2 q(t)}{dt^2} + \frac{1}{C}\,q(t)=0.

Passo 3

Resolver a equação diferencial e interpretar as constantes.
  • A equação diferencial é homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Reescrevendo: \frac{d^2 q}{dt^2} + \frac{1}{LC}\,q = 0.
  • Esta é a equação do oscilador harmônico simples. Definimos a frequência angular natural: \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}.Aqui \omega tem unidades de rad/s.
  • A solução geral da equação é uma combinação de cosseno e seno: q(t) = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t),onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 4

Aplicar as condições iniciais para achar q(t) explicitamente.
  • Condições iniciais naturais do problema: no instante em que se fecha o circuito (vamos tomar t=0):
    • A carga no capacitor é q(0)=q_{0}.
    • A corrente inicial na bobina é i(0)=0 (assumindo que antes da ligação não havia corrente).
  • Usar q(0)=A = q_{0}. Para obter B, usamos i(t)=dq/dt: i(t)=\frac{dq}{dt} = -A\omega\sin(\omega t) + B\omega\cos(\omega t).Em t=0: i(0)=0 = -A\omega\cdot 0 + B\omega\cdot 1 \quad\Rightarrow\quad B\omega=0 \\ \Rightarrow\\ B=0.
  • Portanto a solução particular com essas condições é q(t)=q_{0}\cos(\omega t).

Passo 5

Encontrar expressões para a tensão e a corrente e comparar fases.
  • Tensão no capacitor: v_C(t)=\frac{q(t)}{C}=\frac{q_{0}}{C}\cos(\omega t).Aqui v_C(t) tem forma de cosseno de amplitude V_0=\dfrac{q_{0}}{C}.
  • Corrente no circuito: i(t)=\frac{dq}{dt} = -q_{0}\,\omega\sin(\omega t).Escrevendo i(t) também como um cosseno com deslocamento de fase: usar a identidade trigonométrica -\sin x = \cos\!\left(x+\tfrac{\pi}{2}\right). Assim i(t)=q_{0}\omega\cos\!\left(\omega t+\tfrac{\pi}{2}\right).Logo a corrente é uma oscilação cossenoidal de mesma frequência \omega mas com fase \tfrac{\pi}{2} a mais que a tensão (que é \cos(\omega t)).
  • Diferença de fase:
    • Se representarmos v_C(t)=V_0\cos(\omega t + \varphi_v) e i(t)=I_0\cos(\omega t + \varphi_i), aqui \varphi_v=0 e \varphi_i=+\dfrac{\pi}{2}.
    • A diferença de fase é
    \varphi_i-\varphi_v = \frac{\pi}{2}.Em graus, isso é 90^\circ.

Passo 6

Interpretação física curta e dica para prova.
  • Interpretação: a corrente atinge seu máximo quando a tensão está passando por zero (isso é típico de um capacitor: corrente está relacionada à derivada da tensão ou, neste caso, à derivada da carga). Por isso a corrente “adianta” a tensão em \tfrac{\pi}{2}.
  • Dica: em qualquer circuito puramente capacitivo (sem resistência), corrente lidera tensão em 90^\circ. Em qualquer circuito puramente indutivo (sem resistência), tensão lidera corrente em 90^\circ. Aqui o oscilador L–C combina os dois, mas para a tensão no próprio capacitor a relação corrente–tensão conserva a mesma defasagem de 90^\circ.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{2} rad \;(\,90^\circ\;) — a corrente está adiantada em relação à tensão.

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