Um capacitor possui uma carga
e uma capacitância
. Este capacitor é ligado a uma bobina de indutância
. Desprezando a resistência da bobina e dos fios, determine a diferença de fase entre a corrente e a tensão.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados fornecidos:
- A capacitância do capacitor é
. - A carga inicial no capacitor é
. - A indutância da bobina é
. - A resistência dos fios e da bobina é desprezível (circuito ideal, sem amortecimento).
- A capacitância do capacitor é
- O que é pedido:
- Determinar a diferença de fase entre a corrente e a tensão no circuito após a conexão do capacitor com a bobina.
Passo 2
Definir as variáveis e escrever a equação que descreve o circuito.
- Definições:
-
é a carga no capacitor em função do tempo. -
é a corrente no circuito em função do tempo. Por definição elétrica, a corrente é a taxa de variação da carga:
- A tensão no capacitor é dada por
. Aqui tem unidades de volts, de coulombs e de farads.
-
- Aplicando a lei das malhas (KVL) no circuito ideal L–C: a queda de tensão na bobina mais a queda no capacitor devem somar zero. A tensão na bobina é
. Portanto: - Substituindo
e , obtemos uma equação para :
Passo 3
Resolver a equação diferencial e interpretar as constantes.
- A equação diferencial é homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Reescrevendo:
- Esta é a equação do oscilador harmônico simples. Definimos a frequência angular natural:
Aqui tem unidades de rad/s. - A solução geral da equação é uma combinação de cosseno e seno:
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Passo 4
Aplicar as condições iniciais para achar
explicitamente.
- Condições iniciais naturais do problema: no instante em que se fecha o circuito (vamos tomar
): - A carga no capacitor é
. - A corrente inicial na bobina é
(assumindo que antes da ligação não havia corrente).
- A carga no capacitor é
- Usar
. Para obter , usamos : Em : - Portanto a solução particular com essas condições é
Passo 5
Encontrar expressões para a tensão e a corrente e comparar fases.
- Tensão no capacitor:
Aqui tem forma de cosseno de amplitude . - Corrente no circuito:
Escrevendo também como um cosseno com deslocamento de fase: usar a identidade trigonométrica . Assim Logo a corrente é uma oscilação cossenoidal de mesma frequência mas com fase a mais que a tensão (que é ). - Diferença de fase:
- Se representarmos
e , aqui e . - A diferença de fase é
Em graus, isso é . - Se representarmos
Passo 6
Interpretação física curta e dica para prova.
- Interpretação: a corrente atinge seu máximo quando a tensão está passando por zero (isso é típico de um capacitor: corrente está relacionada à derivada da tensão ou, neste caso, à derivada da carga). Por isso a corrente “adianta” a tensão em
. - Dica: em qualquer circuito puramente capacitivo (sem resistência), corrente lidera tensão em
. Em qualquer circuito puramente indutivo (sem resistência), tensão lidera corrente em . Aqui o oscilador L–C combina os dois, mas para a tensão no próprio capacitor a relação corrente–tensão conserva a mesma defasagem de .