Considere um circuito R L C oscilando livremente, isto é, sem receber energia de nenhuma fonte externa. Dê pelo menos dois exemplos de sistemas mecânicos (envolvendo um corpo e uma mola) que sejam análogos ao circuito R L C mencionado.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Dar pelo menos dois exemplos de sistemas mecânicos (cada um envolvendo um corpo e uma mola) que sejam análogos a um circuito RLC oscilando livremente.
Informações explícitas do enunciado:
  • O circuito é um RLC oscilando livremente (sem fonte externa).
  • Os sistemas mecânicos pedidos devem envolver um corpo (massa ou corpo rígido) e uma mola (elemento elástico).
O enunciado não especifica se o circuito é série ou paralelo; isso pode permitir mais de uma analogia. A resolução escolherá a analogia mais direta e usual para circuito RLC livre (a equação diferencial de segunda ordem) e dará exemplos concretos.

Passo 2

Entendendo o RLC livre (passo-teórico curto e didático).
  • Num circuito série RLC livre a equação diferencial que governa a carga q(t) no capacitor é
L\,\frac{d^{2}q}{dt^{2}} + R\,\frac{dq}{dt} + \frac{1}{C}\,q = 0.
Explique cada termo:
  • L é a indutância (armazena energia cinética magnética); o termo L\,q'' corresponde à taxa de variação da corrente acumulando momento (analogia com inércia).
  • R é a resistência (dissipa energia); o termo R\,q' é proporcional à corrente e representa perda de energia.
  • C é a capacitância (armazena energia potencial elétrica); o termo \dfrac{1}{C}q é a força restauradora elétrica proporcional à carga.
  • Em notação mais usual para osciladores, a equação do RLC é uma equação linear de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes, do tipo massa–amortecimento–rigidez na mecânica.
Por que procurar um sistema mecânico? Porque muitos sistemas mecânicos também satisfazem equações da forma
m\,\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + c\,\frac{dx}{dt} + k\,x = 0,
onde:
  • m é a massa (inércia),
  • c é o coeficiente de amortecimento (dissipação),
  • k é a constante elástica da mola (restauração).
A semelhança estrutural das equações é a base da analogia.

Passo 3

Fazer o mapeamento (analogia mais direta — força↔tensão, deslocamento↔carga).
  • Vamos comparar termo a termo as duas equações:
L\,q'' + R\,q' + \frac{1}{C}\,q = 0 \qquad\text{e}\qquad m\,x'' + c\,x' + k\,x = 0.
  • A identificação natural (a mais usada, chamada de analogia força–tensão ou energia) é:
    • q(t) \longleftrightarrow x(t) (carga \leftrightarrow deslocamento),
    • q'(t)=i(t) \longleftrightarrow x'(t)=v(t) (corrente \leftrightarrow velocidade),
    • L \longleftrightarrow m (indutância \leftrightarrow massa),
    • R \longleftrightarrow c (resistência \longleftrightarrow amortecimento viscoso),
    • \dfrac{1}{C} \longleftrightarrow k (reciproco da capacitância \longleftrightarrow constante da mola),
    • energia magnética \tfrac{1}{2}L i^{2} \leftrightarrow energia cinética \tfrac{1}{2}m v^{2},
    • energia no capacitor \tfrac{1}{2} \dfrac{q^{2}}{C} \leftrightarrow energia elástica \tfrac{1}{2}k x^{2},
    • potência dissipada R i^{2} \leftrightarrow potência dissipada c v^{2}.
Observação prática: esta analogia é direta e permite transpor resultados do RLC (como frequência natural e razão de amortecimento) para o oscilador massa–mola–amortecedor.

Passo 4

Exemplo 1 — Sistema massa–mola–amortecedor translacional (o exemplo canônico).
  • Descrição física: uma massa m apoiada sobre um plano (ou suspensa), ligada a uma mola de constante k e a um amortecedor viscoso de coeficiente c. Não há fonte externa de força. O deslocamento do corpo medido a partir da posição de equilíbrio é x(t).
  • Equação do movimento (obtida pela 2ª lei de Newton somando forças):
m\,\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + c\,\frac{dx}{dt} + k\,x = 0.
  • Comparação direta com o RLC:
    • Identificação: m \leftrightarrow L, c \leftrightarrow R, k \leftrightarrow \dfrac{1}{C}, x\leftrightarrow q.
  • Frequência natural e razão de amortecimento:
    • Frequência natural (sem amortecimento):
    \omega_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}}.
    • Razão de amortecimento (coeficiente adimensional \zeta):
    \zeta = \frac{c}{2\sqrt{m k}}.
    • As fórmulas do circuito RLC mapeiam para:
    \omega_{0,\text{RLC}}=\frac{1}{\sqrt{LC}} \quad\longleftrightarrow\quad \omega_{0,\text{mech}}=\sqrt{\frac{k}{m}},
\zeta_{\text{RLC}}=\frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}} \quad\longleftrightarrow\quad \zeta_{\text{mech}}=\frac{c}{2\sqrt{m k}}.
  • Observação didática: na prova, ao ver a equação do tipo m x'' + c x' + k x = 0 reconhece-se que é análogo a um RLC série livre com L=m,\;R=c,\;1/C=k.

Passo 5

Exemplo 2 — Pêndulo torsional (corpo rígido + mola de torção + amortecedor) — analogia rotacional.
  • Descrição física: um corpo rígido com momento de inércia J ligado a uma mola de torção com constante k_{\theta} e a um amortecedor rotacional com coeficiente b. A variável é o ângulo de deslocamento \theta(t) em torno do eixo de rotação.
  • Equação do movimento (equilíbrio de torques):
J\,\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}} + b\,\frac{d\theta}{dt} + k_{\theta}\,\theta = 0.
  • Comparação com o RLC:
    • Identificação: J \leftrightarrow L, b \leftrightarrow R, k_{\theta} \leftrightarrow \dfrac{1}{C}, \theta \leftrightarrow q.
  • Frequência natural e razão de amortecimento (rotacional): \omega_{0} = \sqrt{\frac{k_{\theta}}{J}}, \qquad \zeta = \frac{b}{2\sqrt{J k_{\theta}}}.
  • Observação prática: este exemplo mostra que a analogia não exige apenas sistemas lineares de translação — rotacional também é perfeitamente análogo.

Passo 6

Outras observações úteis para a prova (como usar as analogias rapidamente).
  • Condições iniciais: no RLC livre normalmente se dão q(0) (carga inicial no capacitor) e i(0)=q'(0). Pelo mapeamento, na mecânica isso corresponde a x(0) (deslocamento inicial) e v(0)=x'(0) (velocidade inicial).
  • Energia: verificar conservação/decaimento de energia é direto com a analogia: E_{\text{total}}(t)=\tfrac{1}{2}L i^{2} + \tfrac{1}{2}\frac{q^{2}}{C} \quad\leftrightarrow\quad E_{\text{total}}(t)=\tfrac{1}{2}m v^{2} + \tfrac{1}{2}k x^{2},e a taxa de perda de energia é -R i^{2} -c v^{2}.
  • Duas notas rápidas sobre alternativas:
    • Existe outra convenção (analogía mobilidade, onde se troca o papel de tensão/força e corrente/velocidade) — isso muda algumas identificações (por exemplo a mola pode mapear para capacitância diretamente) — mas para a prova a analogia força–tensão (mapeamento que usei) é a mais direta e intuitiva quando se trabalha com massa e mola.

Resposta

  1. Massa m ligada a uma mola de constante k e a um amortecedor viscoso c (sistema massa–mola–amortecedor translacional). Identificação: m\leftrightarrow L,\;c\leftrightarrow R,\;k\leftrightarrow 1/C.
  2. Pêndulo torsional (corpo de momento de inércia J) ligado a uma mola de torção k_{\theta} e a um amortecedor rotacional b. Identificação: J\leftrightarrow L,\;b\leftrightarrow R,\;k_{\theta}\leftrightarrow 1/C.

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