Um circuito L C livre, isto é, não conectado a nenhuma fonte externa, possui uma indutância L_{0} e uma capacitância C_{0}. Outro circuito L C livre possui uma indutância L=n L_{0} e uma capacitância C=n C_{0}. Obtenha a razão entre a frequência f das oscilações deste último e a frequência f_{0} das oscilações do primeiro circuito.

Passo 1

O enunciado dá dois circuitos LC livres e pede a razão entre as frequências de oscilação. Dados fornecidos:
  • Primeiro circuito: indutância \,L_{0}\, e capacitância \,C_{0}\,. Frequência associada: \,f_{0}\, (a determinar).
  • Segundo circuito: indutância \,L = n L_{0}\, e capacitância \,C = n C_{0}\,. Frequência associada: \,f\, (a determinar).
    O que se pede: calcular a razão \dfrac{f}{f_{0}}.

Passo 2

Regra básica (fórmula que vamos usar). Para um circuito LC livre, a carga no capacitor \,q(t)\, satisfaz a equação diferencial obtida pela lei de Kirchhoff (tensão na indutância mais tensão no capacitor = 0). Explico passo a passo:
  • A corrente é \,i(t)=\dfrac{dq}{dt}\,.
  • Queda de tensão na indutância é \,L\,\dfrac{di}{dt}=L\,\dfrac{d^{2}q}{dt^{2}}\,.
  • Tensão no capacitor é \dfrac{q}{C}.
    Aplicando Kirchhoff:
L\,\dfrac{d^{2}q}{dt^{2}}+\dfrac{q}{C}=0.
Isto é uma equação diferencial linear de segunda ordem com solução oscilatória. A forma padrão da solução é q(t)=Q\cos(\omega t+\varphi), em que o parâmetro \omega (frequência angular) satisfaz:
\omega^{2}=\dfrac{1}{LC}.
A frequência em hertz é relacionada à frequência angular por \,f=\dfrac{\omega}{2\pi}\,. Portanto a fórmula prática que usamos é:
f=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}.
Aqui:
  • \,L\, é a indutância (unidade henry, H),
  • \,C\, é a capacitância (unidade farad, F),
  • \,f\, é a frequência em hertz (Hz).

Passo 3

Aplicando a fórmula ao primeiro circuito (os parâmetros \,L_{0},C_{0}\,):
f_{0}=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{L_{0}C_{0}}}.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao segundo circuito (substituindo \,L=nL_{0}\, e \,C=nC_{0}\,):
f=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{(nL_{0})(nC_{0})}}.
Calcule o produto dentro da raiz:
(nL_{0})(nC_{0})=n^{2}L_{0}C_{0}.
Logo
f=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{n^{2}L_{0}C_{0}}}=\dfrac{1}{2\pi\,n\sqrt{L_{0}C_{0}}},
onde usei \sqrt{n^{2}}=n (assumindo n>0, que é o caso físico razoável).

Passo 5

Agora a razão pedida:
\dfrac{f}{f_{0}}=\dfrac{\dfrac{1}{2\pi\,n\sqrt{L_{0}C_{0}}}}{\dfrac{1}{2\pi\sqrt{L_{0}C_{0}}}}=\dfrac{1}{n}.
Explicando em palavras: aumentar tanto \,L\, quanto \,C\, pelo mesmo fator n torna o produto LC maior por n^{2}, a raiz \sqrt{LC} cresce por n, e portanto a frequência diminui por n.

Passo 6

Comentários finais e intuição rápida:
  • Pressupõe-se n>0. Se n=1 recupera \dfrac{f}{f_{0}}=1 (mesma frequência).
  • Exemplo numérico: se n=2 (dobrar L e C), a frequência fica metade: f=\dfrac{f_{0}}{2}.
  • Física: tanto L quanto C armazenam energia; aumentando ambos, o sistema oscila mais lentamente.

Resposta

\dfrac{f}{f_{0}}=\dfrac{1}{n}

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