Um circuito
livre, isto é, não conectado a nenhuma fonte externa, possui uma indutância
e uma capacitância
. Outro circuito
livre possui uma indutância
e uma capacitância
. Obtenha a razão entre a frequência
das oscilações deste último e a frequência
das oscilações do primeiro circuito.
Passo 1
O enunciado dá dois circuitos LC livres e pede a razão entre as frequências de oscilação. Dados fornecidos:
- Primeiro circuito: indutância
e capacitância . Frequência associada: (a determinar). - Segundo circuito: indutância
e capacitância . Frequência associada: (a determinar).
O que se pede: calcular a razão.
Passo 2
Regra básica (fórmula que vamos usar). Para um circuito LC livre, a carga no capacitor
satisfaz a equação diferencial obtida pela lei de Kirchhoff (tensão na indutância mais tensão no capacitor = 0). Explico passo a passo:
- A corrente é
. - Queda de tensão na indutância é
. - Tensão no capacitor é
.
Aplicando Kirchhoff:
Isto é uma equação diferencial linear de segunda ordem com solução oscilatória. A forma padrão da solução é
, em que o parâmetro
(frequência angular) satisfaz:
A frequência em hertz é relacionada à frequência angular por
. Portanto a fórmula prática que usamos é:
Aqui:
-
é a indutância (unidade henry, H), -
é a capacitância (unidade farad, F), -
é a frequência em hertz (Hz).
Passo 3
Aplicando a fórmula ao primeiro circuito (os parâmetros
):
Passo 4
Aplicando a fórmula ao segundo circuito (substituindo
e
):
Calcule o produto dentro da raiz:
Logo
onde usei
(assumindo
, que é o caso físico razoável).
Passo 5
Agora a razão pedida:
Explicando em palavras: aumentar tanto
quanto
pelo mesmo fator
torna o produto
maior por
, a raiz
cresce por
, e portanto a frequência diminui por
.
Passo 6
Comentários finais e intuição rápida:
- Pressupõe-se
. Se recupera (mesma frequência). - Exemplo numérico: se
(dobrar e ), a frequência fica metade: . - Física: tanto
quanto armazenam energia; aumentando ambos, o sistema oscila mais lentamente.