Considere um circuito R L C com oscilações eletromagnéticas. Escreva as grandezas mecânicas análogas às seguintes grandezas eletromagnéticas:
  • (a) carga q

Passo 1

O enunciado pede: "Escreva as grandezas mecânicas análogas às seguintes grandezas eletromagnéticas: (a) carga q".
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado): circuito RLC com oscilações livres (sem fonte externa), portanto descreve um oscilador elétrico com indutância L, resistência R e capacitância C. Não há outras informações numéricas.

Passo 2

Escrever a equação diferencial do circuito RLC livre (lei de Kirchhoff para tensões). A corrente é i=\dfrac{dq}{dt}. A soma algébrica das quedas de tensão é nula:
L\frac{di}{dt}+R i+\frac{q}{C}=0.
Substituindo i=\dfrac{dq}{dt} obtemos a equação em q(t):
L\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=0.
Expliquei cada termo:
  • L\frac{d^{2}q}{dt^{2}} é o termo “inercial” (envolve segunda derivada de q);
  • R\frac{dq}{dt} é o termo dissipativo proporcional à velocidade de variação de q;
  • \dfrac{q}{C} é o termo restaurador proporcional a q.

Passo 3

Escrever a equação do oscilador mecânico linear com amortecimento (massa, amortecimento viscoso, mola):
m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+b\frac{dx}{dt}+k x=0.
Compare termo a termo com a equação elétrica. As correspondências naturais são:
L \longleftrightarrow m,\qquad R \longleftrightarrow b,\qquad \frac{1}{C} \longleftrightarrow k.
Como q aparece no lugar onde x aparece na equação mecânica, a analogia direta é:
q \longleftrightarrow x.

Passo 4

Interpretação física que justifica a escolha (passo-a-passo didático):
  • Em eletricidade, a energia armazenada no capacitor é \tfrac{1}{2}\dfrac{q^{2}}{C}; em mecânica, a energia elástica da mola é \tfrac{1}{2}k x^{2}. Ambas são quadráticas na grandeza que define a posição do estado do sistema ( q ou x), portanto q desempenha o papel de coordenada generalizada (posição) do oscilador.
  • A corrente i=\dfrac{dq}{dt} é análoga à velocidade v=\dfrac{dx}{dt}.
  • A energia magnética no indutor \tfrac{1}{2}L i^{2} corresponde à energia cinética \tfrac{1}{2}m v^{2}.
    Tudo isso confirma que a melhor correspondência para a carga q é a posição/deslocamento x do oscilador mecânico.

Passo 5

Dica prática para a prova (como usar isso rápido): escreva a equação diferencial do circuito em q e compare com a equação mecânica em x. Aquele termo que multiplica q (ou sua derivada) indica com que grandeza mecânica q se associa. Para identificar diretamente a grandeza análoga à carga, observe a energia do capacitor \tfrac{1}{2}\dfrac{q^{2}}{C}: a variável que aparece ao quadrado na energia potencial mecânica é o deslocamento x.

Resposta

q \longleftrightarrow x (deslocamento)

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