Um capacitor possui placas circulares de raio R(R>1,0 \mathrm{~mm}). Em um dado instante, o campo elétrico entre as placas do capacitor está variando a uma taxa de \frac{1}{8.85} \times 10^{15} \mathrm{~V} / \mathrm{m}. Calcule o campo magnético produzido no interior do capacitor a uma distáncia de 1.0 mm do centro das placas.

Passo 1

O enunciado diz que temos um capacitor de placas circulares de raio R (com R>1{,}0\\ \mathrm{mm}) em que o campo elétrico entre as placas varia segundo
\frac{dE}{dt} = \frac{1}{8{,}85}\times10^{15}\\ \frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}\,\mathrm{s}}.
Precisamos achar o campo magnético B no interior do capacitor, a uma distância r=1{,}0\\ \mathrm{mm} do centro.
O conteúdo teórico principal é a Lei de Ampère–Maxwell (corrente de deslocamento) e a simetria do problema.

Passo 2

Pela Lei de Ampère–Maxwell, aplicada a um caminho circular de raio r centrado no eixo do capacitor, temos
\oint \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} = \mu_{0}\,I_{\text{corr}} + \mu_{0}\,\varepsilon_{0}\,\frac{d\Phi_{E}}{dt}.
Aqui não há corrente de condutores atravessando o caminho I_{\text{corr}}=0, e
\Phi_{E} = E(t)\times \text{área} = E(t)\,\pi r^{2},á
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\frac{d\Phi_{E}}{dt} = \pi r^{2}\,\frac{dE}{dt}.

Passo 3

Por simetria, \mathbf{B} é tangencial e de módulo constante ao longo da circunferência de raio r, logo
\oint \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} = B\,(2\pi r).
Substituindo na Lei de Ampère–Maxwell e isolando B, obtemos
B\,(2\pi r) = \mu_{0}\,\varepsilon_{0}\,\pi r^{2}\,\frac{dE}{dt} \quad\Longrightarrow\quad B = \frac{\mu_{0}\,\varepsilon_{0}}{2}\,r\,\frac{dE}{dt}.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos:
\varepsilon_{0}\,\frac{dE}{dt} = \bigl(8{,}85\times10^{-12}\bigr)\times\Bigl(\tfrac{1}{8{,}85}\times10^{15}\Bigr) = 10^{3},
\mu_{0} = 4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}, \quad r = 1{,}0\\ \mathrm{mm} = 1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
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B = \frac{4\pi\times10^{-7}\times10^{3}\times1{,}0\times10^{-3}}{2} = 2\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T} \approx 6{,}28\times10^{-7}\\ \mathrm{T}.

Resposta

O campo magnético no interior do capacitor, a 1{,}0\\ \mathrm{mm} do centro, é
B \approx 6{,}3\times10^{-7}\\ \mathrm{T}.

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