Uma partfcula suspensa é atingida por um raio laser de intensidade igual a I. Considere que a partícula esferica de raio r absorve toda radiação incidente, e que é suficientemente pequena para ficar completamente contida no interior do feixe produzido pelo raio laser. Sabe-se que a densidade da partícula é igual a \rho, e que o módulo da força produzido pelo raio sobre a partícula é igual a um centésimo de seu peso m g(m= massa ). Calcule o raio dessa partícula.

Passo 1

O enunciado trata de uma partícula esférica de raio \,r, densidade \,\rho, totalmente absorvente de um feixe de laser de intensidade \,I,. A força de radiação sobre a partícula, dada pela troca de momento dos fótons, é \tfrac{1}{100} do seu peso m g, onde m é a massa da esfera. O conteúdo físico envolvido é pressão de radiação e balanço de forças em equilíbrio estático.

Passo 2

A potência P interceptada pela esfera é a intensidade vezes a seção de choque \pi r^2:
P = I\,\pi r^2.
Como ela absorve toda a radiação, a força de radiação F vale
F = \frac{P}{c} = \frac{I\,\pi r^2}{c},
onde c é a velocidade da luz.

Passo 3

A massa da esfera é
m = \frac{4}{3}\,\pi r^3\,\rho,
e o enunciado diz que
F = \frac{1}{100}\,m g = \frac{1}{100}\,\frac{4}{3}\,\pi r^3\,\rho\,g.
Logo, igualando com a expressão de F da radiação,
\frac{I\,\pi r^2}{c} = \frac{1}{100}\,\frac{4}{3}\,\pi r^3\,\rho\,g.

Passo 4

Cancelando \pi r^2 dos dois lados e isolando r, temos
\frac{I}{c} = \frac{1}{100}\,\frac{4}{3}\,r\,\rho\,g \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{100\,I}{c}\;\frac{3}{4\,\rho\,g} = \frac{75\,I}{\rho\,g\,c}.

Resposta

r = \frac{75\,I}{\rho\,g\,c}.

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