Uma onda eletromagnética plana e harmonica propaga-se na direção positiva do eixo y (vetor unitário \hat{j} ). A função de onda do campo elétrico associado e essa onda é dada por
\vec{E}=3.0 \times 10^{2} \sin \left(10^{-2} x-3.0 \times 10^{6} t\right) \widehat{k}
(Unidades no SI)
a) Obtenha a função de onda para o campo magnético dessa onda.
b) Calcule a intensidade dessa onda.

Passo 1

O enunciado dá uma onda eletromagnética plana e harmônica que se propaga na direção positiva do eixo y (vetor unitário \hat{\jmath}). O campo elétrico vale
\vec{E}(y,t)=3,0\times10^{2}\,\sin\bigl(10^{-2}y-3,0\times10^{6}t\bigr)\,\hat{k}
em unidades do SI. Vamos usar duas relações de ondas em vácuo:
  1. \vec{E}, \vec{B} e a direção de propagação formam um sistema de vetores ortonormais com
\hat{\jmath} \;=\;\frac{\vec{E}\times\vec{B}}{|\vec{E}\times\vec{B}|}.
  1. As amplitudes satisfazem
E_{0}=c\,B_{0},
onde c é a velocidade da luz em vácuo.
Para a intensidade (média do vetor de Poynting) usamos
\bigl\langle S\bigr\rangle \;=\;\frac{E_{0}^{2}}{2\,\mu_{0}\,c}.

Passo 2

Da forma \sin(10^{-2}y-\omega t) identificamos o número de onda e a frequência angular:
k=10^{-2}\;\text{m}^{-1}, \qquad \omega=3,0\times10^{6}\;\text{s}^{-1}.
A direção de propagação é \hat{\jmath}.

Passo 3

Como \vec{E}\parallel\hat{k} e \hat{k}\times\widehat{i}=\hat{\jmath}, escolhemos
\vec{B}(y,t)=B_{0}\,\sin\bigl(10^{-2}y-3,0\times10^{6}t\bigr)\,\widehat{i}
para que \vec{E}\times\vec{B} aponte em \hat{\jmath}.

Passo 4

Usando E_{0}=c\,B_{0} e c=3,0\times10^{8},m/s, obtemos
B_{0}=\frac{E_{0}}{c} =\frac{3,0\times10^{2}}{3,0\times10^{8}} =1,0\times10^{-6}\,\text{T}.

Passo 5

Logo a função de onda do campo magnético é
\vec{B}(y,t) =1,0\times10^{-6}\,\sin\bigl(10^{-2}y-3,0\times10^{6}t\bigr)\,\widehat{i}.

Passo 6

A intensidade média da onda é
\bigl\langle S\bigr\rangle =\frac{E_{0}^{2}}{2\,\mu_{0}\,c} \quad\text{com}\quad E_{0}=3,0\times10^{2},\; \mu_{0}=4\pi\times10^{-7},\; c=3,0\times10^{8}.

Passo 7

Calculando numericamente,
2\,\mu_{0}\,c =2\,(4\pi\times10^{-7})\,(3,0\times10^{8}) =240\pi,
\bigl\langle S\bigr\rangle =\frac{(3,0\times10^{2})^{2}}{240\pi} =\frac{9,0\times10^{4}}{240\pi} \approx1,19\times10^{2}\,\text{W/m}^{2}.

Resposta

a) \displaystyle \vec{B}(y,t) =1,0\times10^{-6}\,\sin\bigl(10^{-2}y-3,0\times10^{6}t\bigr)\,\widehat{i}. b) \displaystyle \bigl\langle S\bigr\rangle\approx1,19\times10^{2}\,\text{W/m}^{2}.

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