Questão1) Um jovem está criando ử experimento para determinar algumas características óticas de um material desconhecido. Ele dispõe de três polaroides, dois verticais e um horizontal, além de um laser monocromático. Primeiramente, o jovem fez passar a luz do laser por dois polaroides cruzados (um dos verticais e o horizontal), obtendo nenhum raio emergente. Em seguida, o jovem colocou a amostra entre os polaroides e encontrou máximos em a 3,9 e 15 centímetros da amostra. Por fim, o jovem trocou o segundo polaroide por um polaroide vertical e observou máximos a 6,12 e 18 centímetros da amostra. Além disso, a intensidade desses máximos eram 30% maiores do que os outros máximos.
a) Explique por que o jovem ficou satisfeito ao,obter nenhum raio emergente quando fez passar o laser pelos polaroides cruzados (vertical e horizontal).
b) Determine o tipo de polarização produzida pela amostra e escreva a forma das componentes do campo elétrico que representam essa polarização.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo
O experimento usa um laser linearmente polarizado (eixo vertical) e dois polaroides: primeiro vertical (V) e depois horizontal (H). Sem amostra entre eles não sai luz (polarizadores cruzados). Ao intercalar uma amostra birrefringente em forma de cunha entre V e H, aparece um padrão de franjas de interferência em um anteparo: com analyzer H (cruzado) as franjas aparecem em y=3{,}9,\;9 e 15,cm; trocando o analyzer para vertical (paralelo a V) surgem franjas em y=6,\;12 e 18,cm, cujas intensidades de pico são 30\% maiores que as do caso cruzado.
Conteúdo: birrefringência, interferência entre raio ordinário e extraordinário, polarização elíptica e leis de Malus.

Passo 2

Por que não sai luz com polarizadores cruzados
Um polaroide só deixa passar a componente de campo elétrico alinhada ao seu eixo de transmissão. Se o primeiro polaroide só deixa passar a componente vertical e o segundo só deixa passar a componente horizontal (ortogonal à vertical), a luz que sai do primeiro não tem componente na direção do segundo, logo nada é transmitido. É exatamente o que Malus prevê para ângulo de 90^\circ entre os eixos:
I = I_0\cos^2(90^\circ)=0.

Passo 3

Geração de franjas pela amostra birrefringente
A amostra cuña tem índice de refração diferente para polarizações ao longo dos eixos “ordinário” \hat{\mathbf{o}} e “extraordinário” \hat{\mathbf{e}}. A espessura varia linearmente com a posição y na cuña, digamos d(y)=\alpha\,y.
• O feixe polarizado verticalmente pode ser decomposto em E_o ao longo de \hat{\mathbf{o}} e E_e ao longo de \hat{\mathbf{e}}.
• Após atravessar, o raio ordinário e o extraordinário saem defasados de
\delta(y) =\frac{2\pi}{\lambda}\,\Delta n\,d(y) =\frac{2\pi\,\Delta n\,\alpha}{\lambda}\;y.
• Ao passar pelo analyzer, essas duas componentes interferem, produzindo intensidade
– para analyzer paralelo (ambos verticais):
I_{\,\|}(y)\propto \cos^2\!\frac{\delta(y)}{2},
– para analyzer cruzado (segundo polaroide horizontal):
I_{\perp}(y)\propto \sin^2\!\frac{\delta(y)}{2}.

Passo 4

Posições dos máximos e razão de intensidades
  1. Máximos em I_{\,\|} ocorrem quando
\frac{\delta}{2}=m\pi \quad\Longrightarrow\quad \delta=2m\pi \quad\Longrightarrow\quad y_m^{\|}=\frac{m\,\lambda}{\Delta n\,\alpha}.
Dos dados y_1^{\|}=6,cm, y_2^{\|}=12,cm etc., concluímos que o espaçamento \Delta y=y_{m+1}-y_m=6,cm.
  1. Máximos em I_{\perp} ocorrem quando
\frac{\delta}{2}=\bigl(m+\tfrac12\bigr)\pi \quad\Longrightarrow\quad \delta=(2m+1)\pi \quad\Longrightarrow\quad y_m^{\perp}=\frac{(2m+1)\,\lambda}{2\,\Delta n\,\alpha}.
O primeiro máximo em y_0^{\perp}\approx3{,}9 cm confirma que y_0^{\perp}=\tfrac12\Delta y.
  1. Razão das intensidades de pico
    Se E_o e E_e são as amplitudes das componentes ordinária e extraordinária, então, na posição de máximo:
I_{\,\|}^{\max}\propto (E_o+E_e)^2, \qquad I_{\perp}^{\max}\propto (E_o-E_e)^2.
Dizem que I_{\,\|}^{\max} é 30\% maior que I_{\perp}^{\max}, ou seja
\frac{(E_o+E_e)^2}{(E_o-E_e)^2}=1{,}30.
Tomando raiz positiva,
\frac{E_o+E_e}{E_o-E_e}=\sqrt{1{,}30}\approx1{,}1402 \quad\Longrightarrow\quad \frac{E_e}{E_o} =\frac{\sqrt{1{,}30}-1}{\sqrt{1{,}30}+1}\approx0{,}064.
Isso mostra que E_e\neq E_o, logo a luz que sai da amostra não é mais linear, mas elipticamente polarizada.

Passo 5

Forma geral do campo elétrico (polarização elíptica)
Como há duas componentes de amplitudes diferentes e defasadas, a polarização é elíptica. No referencial dos eixos ordinário \hat{\mathbf{o}}\equiv \hat{\mathbf{x}} e extraordinário \hat{\mathbf{e}}\equiv \hat{\mathbf{y}}, o campo elétrico total pode ser escrito
\mathbf{E}(t,y) =E_o\cos(\omega t)\,\hat{\mathbf{x}} \;+\;E_e\cos\bigl(\omega t+\delta(y)\bigr)\,\hat{\mathbf{y}},
com E_e/E_o\approx0{,}064 e \delta(y)=\tfrac{2\pi\,\Delta n\,\alpha}{\lambda}\,y. Ao variar y, o ângulo de defasagem muda e descreve o padrão de franjas, mas em qualquer y genérico a projeção de \mathbf{E} traça uma elipse no plano (x,y).

Resposta

(a) Porque dois polaroides com eixos ortogonais (vertical e horizontal) não transmitem luz – Malus dá I=I_0\cos^2 90^\circ=0.
(b) A amostra birrefringente gera dois raios ordinário e extraordinário com amplitudes diferentes e defasagem dependente da espessura, produzindo polarização elíptica. A forma do campo elétrico é
\mathbf{E}(t,y) =E_o\cos(\omega t)\,\hat{\mathbf{x}} +E_e\cos\bigl(\omega t+\delta(y)\bigr)\,\hat{\mathbf{y}},
com E_e/E_o\approx0{,}064 e \delta(y)=\tfrac{2\pi\Delta n\,\alpha}{\lambda}y.

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