CAPILARIDADE E TENSÃO SUPERFICIAL

  1. Uma aranha com 2 g de massa está em pé sobre uma superfície de água. Se cada pata suporta 1 / 8 de sua massa total, qual será o raio da depressão feita por cada pata? Considere 40^{\circ} como o ângulo de depressão.

Passo 1

O enunciado pergunta: qual é o raio da depressão feita por cada pata da aranha na superfície da água?
Informações relevantes fornecidas:
  • Massa total da aranha: 2\\ \text{g}.
  • Cada pata suporta \tfrac{1}{8} da massa total.
  • Ângulo de depressão: 40^\circ.
  • É necessário usar a tensão superficial da água; vou usar o valor usual a temperatura ambiente: \gamma=0,072\\ \text{N/m}.
  • Precisamos devolver o raio r da depressão feita por cada pata.

Passo 2

Entendendo a física e a fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • A tensão superficial \gamma tem dimensão de força por comprimento e representa uma força tangencial que age ao longo da linha de contato entre a pata e a água. Unidade: \text{N/m}.
  • Em cada ponto da linha de contato a força devido à tensão superficial é tangente à superfície do líquido. Para sustentar um peso vertical, precisamos da componente vertical dessa força.
  • Se o ângulo entre a tangente da superfície e a horizontal é \alpha (aqui \alpha=40^\circ), a componente vertical da tensão superficial por unidade de comprimento é \gamma\sin\alpha. Explico: a força por unidade de comprimento é \gamma na direção tangencial; decompondo em vertical, multiplica-se por \sin\alpha.
  • A linha de contato é aproximadamente uma circunferência de raio r; o comprimento total dessa linha é 2\pi r.
  • Portanto, a força vertical total fornecida pela tensão superficial ao redor da pata é
F_{\text{tensão}} = 2\pi r\,\gamma\,\sin\alpha.ã
  • Em equilíbrio (a pata não afunda), essa força vertical deve igualar o peso suportado pela pata:
F_{\text{tensão}} = \text{peso da pata}.ã

Passo 3

Converter unidades e calcular o peso suportado por uma pata:
  • Massa total: 2\\ \text{g}=0,002\\ \text{kg}.
  • Massa por pata: \displaystyle m_{\text{pata}}=\frac{0,002}{8}=0,00025\\ \text{kg}.
  • Usando g=9,8\\ \text{m/s}^2, o peso suportado por uma pata é
P = m_{\text{pata}}\,g = 0,00025\cdot 9,8 = 0,00245\\ \text{N}.

Passo 4

Escrever a equação de equilíbrio e isolar r:
2\pi r\,\gamma\,\sin\alpha = P \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{P}{2\pi\gamma\sin\alpha}.
Aqui:
  • P é o peso suportado pela pata (em \text{N}),
  • \gamma é a tensão superficial ( \text{N/m}),
  • \alpha é o ângulo de depressão ( 40^\circ),
  • r será em metros.

Passo 5

Substituir os valores numéricos e calcular passo a passo:
  • \gamma=0,072\\ \text{N/m}.
  • \alpha=40^\circ então \sin\alpha=\sin 40^\circ\approx 0,6428.
  • Calcular o denominador:
2\pi\gamma\sin\alpha = 2\pi\cdot 0,072\cdot 0,6428 \approx 0,2906\\ \text{N/m}.
  • Agora calcular r:
r = \frac{0,00245}{0,2906} \approx 0,00843\\ \text{m}.
  • Converter para milímetros: 0,00843\\ \text{m}=8,43\\ \text{mm}.

Passo 6

Interpretação e verificação rápida:
  • O raio calculado é da ordem de alguns milímetros, o que é razoável para a impressão que uma pata fina de aranha faz na água.
  • Se fosse usada uma tensão superficial ligeiramente diferente (por temperatura), o resultado mudaria um pouco, mas a ordem de grandeza permanece.

Resposta

r \approx 0,00843\\ \text{m} = 8,43\\ \text{mm}

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