Os capitais de R \ 3.000,00, R $5.000,00 eR $ 8.000,00 foram aplicados todos no mesmo prazo, a taxas de juros simples de6 % ao mês,ê4 % ao mês eê3,25 %$ ao mês, respectivamente. Calcule a taxa média de aplicação desses capitais.
(a) 4,83 \% ao mês
(b) 3,206 \% ao mês
(c) 4,4167 \% ao mês
(d) 4 \% ao mês
(e) 4,859 \% ao mês

Passo 1

O enunciado dá três capitais aplicados pelo mesmo prazo e com taxas de juros simples diferentes, e pede a taxa média de aplicação desses capitais. Dados fornecidos:
  • capital P_1 = 3000 e taxa r_1 = 6\% ao mês;
  • capital P_2 = 5000 e taxa r_2 = 4\% ao mês;
  • capital P_3 = 8000 e taxa r_3 = 3,25\% ao mês.
    Pergunta: qual é a taxa média de aplicação (em % ao mês) desses capitais?

Passo 2

Conceito e fórmula usada: em regime de juros simples, o juro produzido por um capital P no tempo t e à taxa r (em decimal) é
J = P \cdot r \cdot t.
Aqui todos os investimentos têm o mesmo prazo t. Então o juro total J_{\text{total}} é
J_{\text{total}} = t\,(P_1 r_1 + P_2 r_2 + P_3 r_3).
Se quisermos uma taxa média \bar r tal que o mesmo capital total P_{\text{tot}} = P_1+P_2+P_3 aplicado à taxa \bar r por t gere exatamente o mesmo juro total, então
J_{\text{total}} = t \, P_{\text{tot}} \, \bar r.
Cancelando t (porque é comum) obtemos a fórmula da taxa média ponderada:
\bar r = \frac{P_1 r_1 + P_2 r_2 + P_3 r_3}{P_1 + P_2 + P_3}.
Explicação simples do que cada símbolo significa:
  • P_i são os capitais (em reais);
  • r_i são as taxas correspondentes (em decimal; ex.: 6\% = 0,06);
  • \bar r é a taxa média (em decimal) que queremos achar.

Passo 3

Transformo as taxas percentuais em decimais (usar vírgula como separador decimal):
r_1 = 6\% = 0,06,\qquad r_2 = 4\% = 0,04,\qquad r_3 = 3,25\% = 0,0325.

Passo 4

Calculo os produtos P_i r_i (estes são os juros por unidade de tempo proporcionais a cada capital):
P_1 r_1 = 3000\cdot 0,06 = 180,
P_2 r_2 = 5000\cdot 0,04 = 200,
P_3 r_3 = 8000\cdot 0,0325 = 260.

Passo 5

Somando esses valores obtenho o numerador da média ponderada:
P_1 r_1 + P_2 r_2 + P_3 r_3 = 180 + 200 + 260 = 640.

Passo 6

Calculo o capital total (denominador):
P_{\text{tot}} = 3000 + 5000 + 8000 = 16000.

Passo 7

Aplico a fórmula da média ponderada:
\bar r = \frac{640}{16000} = 0,04.
Convertendo para porcentagem:
\bar r = 0,04 = 4\%.

Passo 8

Intuição rápida para fixar: a taxa média é uma média ponderada pelas quantias aplicadas. Capitais maiores “puxam” mais a média para as suas taxas. Aqui os cálculos deram exatamente 4\%.

Resposta

(d) 4\% ao mês

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