Um capital de 50.000 $1.000 $ 2.060,40$. Calcular a taxa de juros efetiva ao mês obtida pela aplicação e o prazo em meses.

Passo 1

O enunciado diz que um capital de 50,000 rendeu 1,000 reais num prazo de n meses, e que, se o prazo fosse 2 meses maior, o juro aumentaria em 2,060,40 reais. Como o rendimento depende exponencialmente do prazo, vamos usar a fórmula de juros compostos para determinar a taxa mensal i e o prazo n.

Passo 2

Pela fórmula de juros compostos, o juro I obtido em n meses é
I = Cl((1+i)^n - 1r)
Substituindo C=50,000 e I=1,000, temos
1,000 = 50,000l((1+i)^n - 1r) Longrightarrow (1+i)^n = 1 + 1,00050,000 = 1,02

Passo 3

Se o prazo fosse n+2 meses, o juro seria
I2 = 50,000l((1+i)^n+2 -1r)
O acréscimo de juro é
I2 - I = 2,060,40 ;Longrightarrow; 50,000l((1+i)^n+2 - (1+i)^nr) = 2,060,40
Fatorando (1+i)^n e usando (1+i)^n=1,02, obtemos
50,000cdot1,02;l((1+i)^2-1r)=2,060,40 ;Longrightarrow; 51,000;l((1+i)^2-1r)=2,060,40
l((1+i)^2-1r) =2,060,4051,000 =0,0404 ;Longrightarrow; (1+i)^2=1,0404 ;Longrightarrow; 1+i=1,02 ;Longrightarrow; i=0,02

Passo 4

Com i=0,02, voltamos a (1+i)^n=1,02:
(1,02)^n=1,02 ;Longrightarrow; n=1

Resposta

A taxa efetiva mensal é 2% e o prazo original é de 1 mês.

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