Um capital é aplicado a juros compostos à taxa de 20 % ao ano. Qual é o menor número inteiro de anos necessários para que o montante dessa operação seja: o dobro do capital?

Passo 1

O enunciado diz que um capital C é aplicado a juros compostos de 20% ao ano e queremos saber o menor número inteiro de anos n para que o montante M seja o dobro do capital inicial. O assunto envolve juros compostos e progressão geométrica.

Passo 2

Em juros compostos, o montante M após n anos é dado por:
M = C cdot (1 + i)^n
onde i é a taxa de juros anual.

Passo 3

Substituindo a taxa i = 0,20 e exigindo que o montante seja o dobro do capital ( M >= 2C), temos:
C cdot (1 + 0,20)^n >= 2C

Passo 4

Cancelando C dos dois lados e simplificando, obtemos:
(1,2)^n >= 2

Passo 5

Para resolver a desigualdade, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
n >= ln 2ln 1,2 approx 3,8018

Passo 6

Como procuramos o menor número inteiro de anos que satisfaça a condição, escolhemos n = 4.

Resposta

4 anos

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