Um capital é aplicado a juros compostos à taxa de
ao ano. Qual é o menor número inteiro de anos necessários para que o montante dessa operação seja: o dobro do capital?
Passo 1
O enunciado diz que um capital C é aplicado a juros compostos de 20% ao ano e queremos saber o menor número inteiro de anos n para que o montante M seja o dobro do capital inicial. O assunto envolve juros compostos e progressão geométrica.
Passo 2
Em juros compostos, o montante M após n anos é dado por:
onde
é a taxa de juros anual.
Passo 3
Substituindo a taxa
e exigindo que o montante seja o dobro do capital (
), temos:
Passo 4
Cancelando
dos dois lados e simplificando, obtemos:
Passo 5
Para resolver a desigualdade, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Passo 6
Como procuramos o menor número inteiro de anos que satisfaça a condição, escolhemos n = 4.
Resposta
4 anos