O capital \mathrm{K}(\mathrm{t}) segue a dinâmica:
\frac{d^{2} K}{d t^{2}}-5 \frac{d K}{d t}+6 K=0
a) Resolva a equação característica;
b) Escreva a solução geral de \mathrm{K}(\mathrm{t}).

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
\frac{d^{2}K}{dt^{2}} \;-\;5\,\frac{dK}{dt}\;+\;6\,K \;=\;0\,.
O método é montar a equação característica associada e encontrar suas raízes para, em seguida, escrever a solução geral como combinação de exponenciais.

Passo 2

Procuramos soluções da forma K(t)=e^{rt}. Substituindo na equação diferencial, obtemos a equação característica
r^{2} \;-\;5r\;+\;6 \;=\;0.
Resolvendo-a, fatoramos
r^{2}-5r+6=(r-2)(r-3)=0
e achamos as raízes
r_{1}=2, \quad r_{2}=3.

Passo 3

Como as raízes r_{1} e r_{2} são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é
K(t)=C_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}e^{r_{2}t}
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

K(t)=C_{1}e^{2t}+C_{2}e^{3t}.

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