Usando a segunda regra composta de Simpson (h=1), calcular a integral na forma aproximada e exata e determinar o erro.
I=\int_{1}^{7}\left(x^{2}+2 x+7\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
I = \int_{1}^{7}\bigl(x^{2}+2x+7\bigr)\,dx
pela regra composta de Simpson com passo h=1, depois calcular o valor exato da integral e, por fim, determinar o erro da aproximação. O conteúdo da matéria é a aplicação da regra de Simpson composta e o cálculo de integrais de polinômios.

Passo 2

Definimos n subintervalos com h=1 em [1,7]. Como 7-1=6, escolhemos n=6 (par) e os nós
x_0=1,\;x_1=2,\;x_2=3,\;x_3=4,\;x_4=5,\;x_5=6,\;x_6=7.

Passo 3

A fórmula da regra composta de Simpson é
I_{\text{S}} \approx \frac{h}{3}\Bigl[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+2f(x_4)+4f(x_5)+f(x_6)\Bigr].

Passo 4

Calculamos f(x)=x^{2}+2x+7 em cada nó:
\begin{aligned} f(1)&=1+2+7=10,\\\ f(2)&=4+4+7=15,\\\ f(3)&=9+6+7=22,\\\ f(4)&=16+8+7=31,\\\ f(5)&=25+10+7=42,\\\ f(6)&=36+12+7=55,\\\ f(7)&=49+14+7=70. \end{aligned}

Passo 5

Substituindo na fórmula de Simpson:
I_{\text{S}} = \frac{1}{3}\bigl[10 + 4\cdot15 + 2\cdot22 + 4\cdot31 + 2\cdot42 + 4\cdot55 + 70\bigr] = \frac{1}{3}\times612 =204.

Passo 6

Para o valor exato, encontramos a antiderivada:
\int\bigl(x^{2}+2x+7\bigr)\,dx = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} + 7x.
Avaliando de 1 a 7:
\left(\frac{7^{3}}{3}+7^{2}+7\cdot7\right) - \left(\frac{1^{3}}{3}+1^{2}+7\cdot1\right) = \frac{343}{3}+49+49 - \bigl(\frac{1}{3}+1+7\bigr) = \frac{637}{3}-\frac{25}{3} = \frac{612}{3} =204.

Passo 7

Comparando:
– Aproximação pelo método de Simpson: 204
– Valor exato da integral: 204
Logo, o erro da aproximação é zero, pois Simpson é exato para polinômios de até grau três.

Resposta

Integral aproximada por Simpson: 204
Integral exata: 204
Erro: 0

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