Resolva a equação diferencial:
a) Determine a solução geral;
b) Encontre a solução particular para
.
b) Encontre a solução particular para
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de 1ª ordem
Seu conteúdo é ODE linear com coeficiente constante. Para resolvê-la, vamos usar o fator integrante e separar em parte homogênea e particular.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada
Ela é separável ou pode ser vista como constante de decaimento. A solução geral homogênea é
onde
é constante arbitrária.
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
. Como o termo não homogêneo é constante, tentamos
(constante). Substituindo em
vem
Logo
Passo 4
A solução geral da ODE é a soma das partes homogênea e particular:
Passo 5
Para satisfazer a condição inicial
, impomos
Resposta
a) A solução geral é
b) Com
, a solução particular fica