Resolva a equação diferencial:
\frac{d Q}{d t}+0,2 Q=50
a) Determine a solução geral;
b) Encontre a solução particular para Q(0)=100.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de 1ª ordem
\frac{dQ}{dt} + 0,2\,Q = 50
Seu conteúdo é ODE linear com coeficiente constante. Para resolvê-la, vamos usar o fator integrante e separar em parte homogênea e particular.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada
\frac{dQ}{dt} + 0,2\,Q = 0.
Ela é separável ou pode ser vista como constante de decaimento. A solução geral homogênea é
Q_h(t) = C\,e^{-0,2\,t},
onde C é constante arbitrária.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular Q_p. Como o termo não homogêneo é constante, tentamos Q_p=A (constante). Substituindo em
\frac{dQ_p}{dt} + 0,2\,Q_p = 50
vem
0 + 0,2\,A = 50 \quad\Longrightarrow\quad A = \frac{50}{0,2} = 250.
Logo
Q_p(t) = 250.

Passo 4

A solução geral da ODE é a soma das partes homogênea e particular:
Q(t) = Q_h(t) + Q_p(t) = C\,e^{-0,2\,t} + 250.

Passo 5

Para satisfazer a condição inicial Q(0)=100, impomos
Q(0) = C + 250 = 100 \quad\Longrightarrow\quad C = -150.

Resposta

a) A solução geral é
Q(t) = C\,e^{-0,2\,t} + 250.
b) Com Q(0)=100, a solução particular fica
Q(t) = -150\,e^{-0,2\,t} + 250.

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