Considere o sistema:
\left.\frac{d C}{d t}=0,5 C+0,3 Y \frac{d Y}{d t}=0,2 C+0,4 Y \right] a) \text { Determine os autovalores da matriz de coeficientes;}
b) Classifique o tipo de equilíbrio dinâmico do sistema.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear de equações diferenciais
\frac{dC}{dt}=0{,}5\,C+0{,}3\,Y, \qquad \frac{dY}{dt}=0{,}2\,C+0{,}4\,Y
e pede:
– (a) determinar os autovalores da matriz de coeficientes;
– (b) classificar o tipo de equilíbrio no ponto de origem.
O conteúdo envolvido é análise de sistemas lineares: montagem da matriz de coeficientes, cálculo de autovalores via polinômio característico e classificação da estabilidade pelo sinal e tipo dos autovalores.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes A do sistema no espaço (C,Y):
A = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}3\\\\ 0{,}2 & 0{,}4 \end{pmatrix}.
Para encontrar os autovalores \lambda, montamos o polinômio característico
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 0{,}5 - \lambda & 0{,}3\\\\ 0{,}2 & 0{,}4 - \lambda \end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos o determinante:
\det(A - \lambda I) = (0{,}5 - \lambda)(0{,}4 - \lambda) - 0{,}3\cdot0{,}2.
Expandindo,
(0{,}5 - \lambda)(0{,}4 - \lambda) = 0{,}20 -0{,}5\,\lambda -0{,}4\,\lambda + \lambda^2 = \lambda^2 -0{,}9\,\lambda + 0{,}20.
Subtraindo 0{,}06 (produto 0{,}3\cdot0{,}2), o polinômio fica
\lambda^2 -0{,}9\,\lambda + 0{,}20 - 0{,}06 = \lambda^2 -0{,}9\,\lambda + 0{,}14 = 0.

Passo 4

Resolvendo
\lambda^2 -0{,}9\,\lambda +0{,}14=0
pelas fórmulas de Bhaskara:
\lambda = \frac{0{,}9\pm\sqrt{0{,}9^2 -4\cdot0{,}14}}{2} = \frac{0{,}9\pm\sqrt{0{,}81 -0{,}56}}{2} = \frac{0{,}9\pm\sqrt{0{,}25}}{2} = \frac{0{,}9\pm0{,}5}{2}.
Logo os autovalores são
\lambda_1 = \frac{0{,}9 +0{,}5}{2} =0{,}7, \qquad \lambda_2 = \frac{0{,}9 -0{,}5}{2} =0{,}2.

Passo 5

Como ambos os autovalores são reais e positivos 0{,}7>0 e 0{,}2>0, a origem é um ponto de equilíbrio instável. Mais precisamente, trata-se de um nó repulsor (nó instável), pois as trajetórias distanciam-se da origem exponencialmente nas direções dos autovetores.

Resposta

(a) \lambda_1 = 0{,}7, \lambda_2 = 0{,}2.
(b) O equilíbrio na origem é um nó instável (nó repulsor).

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