e pede:
– (a) determinar os autovalores da matriz de coeficientes;
– (b) classificar o tipo de equilíbrio no ponto de origem.
O conteúdo envolvido é análise de sistemas lineares: montagem da matriz de coeficientes, cálculo de autovalores via polinômio característico e classificação da estabilidade pelo sinal e tipo dos autovalores.
Passo 2
Escrevemos a matriz de coeficientes A do sistema no espaço (C,Y):
A = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}3\\\\ 0{,}2 & 0{,}4 \end{pmatrix}.
Para encontrar os autovalores \lambda, montamos o polinômio característico
Como ambos os autovalores são reais e positivos 0{,}7>0 e 0{,}2>0, a origem é um ponto de equilíbrio instável. Mais precisamente, trata-se de um nó repulsor (nó instável), pois as trajetórias distanciam-se da origem exponencialmente nas direções dos autovetores.
Resposta
(a) \lambda_1 = 0{,}7, \lambda_2 = 0{,}2.
(b) O equilíbrio na origem é um nó instável (nó repulsor).