Um capital de R$1500,00, aplicado a juros compostos, rendeu, após 2 meses, juros de
. A taxa de juros mensal, em porcentagem, aproximadamente foi:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado fornece um capital aplicado a juros compostos e pede a taxa mensal aproximada. Informações dadas e pergunta que devemos responder:
- Capital inicial (principal):
. - Juros obtidos após
meses: . - Pergunta: qual foi a taxa de juros mensal, em porcentagem, aproximadamente? (alternativas dadas:
, , , ).
Passo 2
Recordando a fórmula básica de juros compostos (aqui eu explico com calma):
onde:
-
é o montante (capital + juros) após períodos, -
é o capital inicial (principal), -
é a taxa por período (aqui: taxa mensal, em forma decimal), -
é o número de períodos (aqui: número de meses).
Essa fórmula diz que a cada período o capital é multiplicado por
; depois de
períodos multiplica-se
vezes, por isso a potência.
Passo 3
Calculemos o montante
: como os juros foram
sobre o capital
, temos
Agora aplicamos a fórmula dos juros compostos com
,
e
:
Passo 4
Isolamos
:
Calcule a divisão (tudo em matemática):
. Logo
Passo 5
Para encontrar
tiramos raiz quadrada:
Agora precisamos aproximar
. Uma forma sem calculadora é usar a série de Taylor/binomial para
quando
é pequeno:
onde
neste caso. Vou explicar essa fórmula curtamente: é a expansão de
até o termo em
; dá uma boa aproximação quando
não é grande.
Calculemos termo a termo (tudo em contas que você consegue fazer sem calculadora):
-
. -
. -
. -
.
Agora:
Portanto
Convertendo para porcentagem:
Passo 6
Compare com as alternativas: a que mais se aproxima de
é a alternativa c)
. (Se quisermos, podemos arredondar para uma casa decimal como nas opções.)
Resposta
c)