Um capital de R$1500,00, aplicado a juros compostos, rendeu, após 2 meses, juros de \mathbf{R} \boldsymbol{1} \mathbf{6 5 , 0 0}. A taxa de juros mensal, em porcentagem, aproximadamente foi:
a) 4,2 \%
b) 4,7 \%
c) 5,3 \%
d) 5,7 \%

Passo 1

O enunciado fornece um capital aplicado a juros compostos e pede a taxa mensal aproximada. Informações dadas e pergunta que devemos responder:
  • Capital inicial (principal): 1500.
  • Juros obtidos após 2 meses: 165.
  • Pergunta: qual foi a taxa de juros mensal, em porcentagem, aproximadamente? (alternativas dadas: 4,2\%, 4,7\%, 5,3\%, 5,7\%).

Passo 2

Recordando a fórmula básica de juros compostos (aqui eu explico com calma):
M = C(1+i)^n
onde:
  • M é o montante (capital + juros) após n períodos,
  • C é o capital inicial (principal),
  • i é a taxa por período (aqui: taxa mensal, em forma decimal),
  • n é o número de períodos (aqui: número de meses).
Essa fórmula diz que a cada período o capital é multiplicado por (1+i); depois de n períodos multiplica-se n vezes, por isso a potência.

Passo 3

Calculemos o montante M: como os juros foram 165 sobre o capital 1500, temos
M = 1500 + 165 = 1665.
Agora aplicamos a fórmula dos juros compostos com C=1500, M=1665 e n=2:
1665 = 1500(1+i)^2.

Passo 4

Isolamos (1+i)^2:
(1+i)^2 = \frac{1665}{1500}.
Calcule a divisão (tudo em matemática): \dfrac{1665}{1500} = 1,11. Logo
(1+i)^2 = 1,11.

Passo 5

Para encontrar i tiramos raiz quadrada:
1+i = \sqrt{1,11}, \qquad i = \sqrt{1,11} - 1.
Agora precisamos aproximar \sqrt{1,11}. Uma forma sem calculadora é usar a série de Taylor/binomial para \sqrt{1+x} quando x é pequeno:
\sqrt{1+x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8},
onde x=0,11 neste caso. Vou explicar essa fórmula curtamente: é a expansão de (1+x)^{1/2} até o termo em x^2; dá uma boa aproximação quando x não é grande.
Calculemos termo a termo (tudo em contas que você consegue fazer sem calculadora):
  • x = 0,11.
  • \dfrac{x}{2} = 0,055.
  • x^2 = 0,11^2 = 0,0121.
  • \dfrac{x^2}{8} = \dfrac{0,0121}{8} = 0,0015125 \approx 0,00151.
Agora:
\sqrt{1,11} \approx 1 + 0,055 - 0,00151 = 1,05349\\ (\text{aprox.}).
Portanto
i \approx 1,05349 - 1 = 0,05349.
Convertendo para porcentagem:
i \approx 0,05349 = 5,349\% \approx 5,35\%.

Passo 6

Compare com as alternativas: a que mais se aproxima de 5,35\% é a alternativa c) 5,3\%. (Se quisermos, podemos arredondar para uma casa decimal como nas opções.)

Resposta

c) 5,3\%

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