Considere uma matriz A de ordem 3, onde essa é uma matriz diagonal, em que os elementos não nulos seguem uma progressão geométrica de razão \frac{1}{2}, no qual o seu primeiro elemento é 2 . Com base nessas informações, o valor do determinante da Matriz A é igual a:
a) 1 / 4
b) 1 / 2
c) 1
d) 2

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:\n
  • Informação 1: A matriz A é uma matriz de ordem 3 (ou seja, 3\times3).\n
  • Informação 2: A matriz A é diagonal; portanto, seus únicos possíveis elementos não nulos estão na diagonal principal.\n
  • Informação 3: Os elementos não nulos (ou seja, os elementos da diagonal principal) formam uma progressão geométrica cujo primeiro termo é 2 e a razão é \tfrac{1}{2}.\n
  • Pergunta: Qual é o valor do determinante de A? (opções: a) \tfrac{1}{4}; b) \tfrac{1}{2}; c) 1; d) 2)

Passo 2

Entender o que significa “termos em progressão geométrica” (pequena aula):\n
  • Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência de números onde cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão.\n
  • A fórmula do n-ésimo termo de uma PG é a_n = a_1 \cdot r^{\,n-1},
onde \(a_1) é o primeiro termo e \(r) é a razão.\n
No nosso caso \(a_1=2) e \(r=\tfrac{1}{2}). Vamos usar essa fórmula para obter os três termos que ficam na diagonal da matriz A.

Passo 3

Calcular cada elemento da diagonal usando a fórmula da PG:\n
  • Primeiro termo (já dado): a_1 = 2.\n
  • Segundo termo: a_2 = a_1 \cdot r = 2 \cdot \tfrac{1}{2} = 1.\n
  • Terceiro termo: a_3 = a_1 \cdot r^{\,2} = 2 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{2} = 2 \cdot \tfrac{1}{4} = \tfrac{1}{2}.\n
Portanto, a diagonal principal de A é \bigl(2,\;1,\;\tfrac{1}{2}\bigr).

Passo 4

Entender como calcular o determinante de uma matriz diagonal (mini-aula):\n
  • Uma matriz diagonal tem zeros fora da diagonal principal. Para qualquer matriz diagonal D de ordem n com entradas diagonais d_{11},d_{22},\dots,d_{nn}, o determinante de D é simplesmente o produto dos elementos da diagonal: \det(D)=d_{11}\cdot d_{22}\cdots d_{nn}.\n
  • Por que isso? Intuitivamente, ao expandir por cofatores ou observar que a matriz diagonal é triangular, o determinante de uma matriz triangular é o produto de seus elementos diagonais. Não precisa decorar: é um resultado direto da definição do determinante.

Passo 5

Aplicar a propriedade do determinante ao nosso caso:\n
  • Como A é diagonal com diagonal \bigl(2,\;1,\;\tfrac{1}{2}\bigr), temos \det(A)=2 \cdot 1 \cdot \tfrac{1}{2}.\n
  • Calcule passo a passo: primeiro 2\cdot 1 = 2. Depois 2 \cdot \tfrac{1}{2} = 1.

Passo 6

Concluir e relacionar com as opções dadas:\n
  • O valor do determinante é 1, que corresponde à alternativa \text{\text{(c)}}.

Resposta

c) 1

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