Considere uma matriz A de ordem 3, onde essa é uma matriz diagonal, em que os elementos não nulos seguem uma progressão geométrica de razão
, no qual o seu primeiro elemento é 2 . Com base nessas informações, o valor do determinante da Matriz A é igual a:
a)
b)
c) 1
d) 2
a)
b)
c) 1
d) 2
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:\n
- Informação 1: A matriz
é uma matriz de ordem (ou seja, ).\n - Informação 2: A matriz
é diagonal; portanto, seus únicos possíveis elementos não nulos estão na diagonal principal.\n - Informação 3: Os elementos não nulos (ou seja, os elementos da diagonal principal) formam uma progressão geométrica cujo primeiro termo é
e a razão é .\n - Pergunta: Qual é o valor do determinante de
? (opções: a) ; b) ; c) ; d) )
Passo 2
Entender o que significa “termos em progressão geométrica” (pequena aula):\n
- Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência de números onde cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão.\n
- A fórmula do
-ésimo termo de uma PG é
onde
) é o primeiro termo e
) é a razão.\n
No nosso caso ) e ). Vamos usar essa fórmula para obter os três termos que ficam na diagonal da matriz .
No nosso caso ) e ). Vamos usar essa fórmula para obter os três termos que ficam na diagonal da matriz
Passo 3
Calcular cada elemento da diagonal usando a fórmula da PG:\n
- Primeiro termo (já dado):
\n - Segundo termo:
\n - Terceiro termo:
\n
Portanto, a diagonal principal de
é
.
Passo 4
Entender como calcular o determinante de uma matriz diagonal (mini-aula):\n
- Uma matriz diagonal tem zeros fora da diagonal principal. Para qualquer matriz diagonal
de ordem com entradas diagonais , o determinante de é simplesmente o produto dos elementos da diagonal: \n - Por que isso? Intuitivamente, ao expandir por cofatores ou observar que a matriz diagonal é triangular, o determinante de uma matriz triangular é o produto de seus elementos diagonais. Não precisa decorar: é um resultado direto da definição do determinante.
Passo 5
Aplicar a propriedade do determinante ao nosso caso:\n
- Como
é diagonal com diagonal , temos \n - Calcule passo a passo: primeiro
. Depois .
Passo 6
Concluir e relacionar com as opções dadas:\n
- O valor do determinante é
, que corresponde à alternativa .
Resposta
c)