Um capital no valor de
20.000,00
10 %$ ao ano, durante 2 anos e 3 meses. Qual o valor do montante no final do período, adotando a convenção linear?
Passo 1
O enunciado dá: capital inicial
, taxa de juros compostos de
ao ano e tempo de aplicação de
anos e
meses. A pergunta é: qual o montante
no final do período, adotando a convenção linear para transformar meses em fração de ano?\n
Informações relevantes: \n
\n
\n
tempo: anos e
meses, e precisamos converter os
meses em fração de ano usando a convenção linear (ou seja, dividir por
).\n
Informações relevantes: \n
tempo:
Passo 2
Fórmula que vamos usar (juros compostos):\n
Explicando a fórmula de forma didática:\n
-
é o montante (o valor final que queremos). \n -
é o capital inicial (o que foi investido). \n -
é a taxa de juros por período (aqui, por ano). \n -
é o número de períodos (aqui, número de anos, que pode ser fracionário se o tempo não for um inteiro de anos).\n
Na convenção linear, meses contam como fração do ano:. Então vamos transformar anos e meses em anos decimais no Passo 3.
Passo 3
Converter o tempo usando a convenção linear:\n
Portanto usaremos
na fórmula de juros compostos.
Passo 4
Substituindo na fórmula:\n
Expliquei:
. Agora vamos calcular
. Para facilitar, separamos a parte inteira e a parte fracionária do expoente.
Passo 5
Separando o expoente: \n
Calculamos a parte inteira facilmente: \n
Logo\n
Passo 6
Interpretação da parte fracionária:
é a raiz quarta de
(porque
). Uma forma prática e precisa de calcular raízes não-inteiras é usar logs: \n
Agora calculamos passo a passo para obter um valor numérico aproximado mas bem acurado.
Passo 7
Calcular
(valor aproximado) e multiplicar por
:\n
Passo 8
Calcular
usando a expansão em série de
(para
pequeno, a expansão converge rápido):\n
Tomando
:\n
Somando os termos principais:\n
Portanto\n
Passo 9
Voltar ao montante:\n
Multiplicando pelo capital:\n
Passo 10
Arredondando para centavos (duas casas decimais), o montante final é aproximadamente:\n