(1,0) Um capital no valor de \mathrm{R} \ 20.000,00 foi investido a uma taxa de juros compostos de10 %$ ao ano, durante 2 anos e 3 meses. Qual o valor do montante no final do período, adotando a convenção linear?

Passo 1

O enunciado dá: capital inicial \,P = R\$20.000,00\,, taxa de juros compostos de \,10\% ao ano e tempo de aplicação de 2 anos e 3 meses. A pergunta é: qual o montante M no final do período, adotando a convenção linear para transformar meses em fração de ano?\n
Informações relevantes: \n
\,P = R\$20.000,00\,\n
\,i = 10\% \text{ ao ano} = 0,10\\ \text{(taxa por ano)}\,\n
tempo: 2 anos e 3 meses, e precisamos converter os 3 meses em fração de ano usando a convenção linear (ou seja, dividir por 12).\n

Passo 2

Fórmula que vamos usar (juros compostos):\n
M = P(1+i)^{n}\n
Explicando a fórmula de forma didática:\n
  • M é o montante (o valor final que queremos). \n
  • P é o capital inicial (o que foi investido). \n
  • i é a taxa de juros por período (aqui, por ano). \n
  • n é o número de períodos (aqui, número de anos, que pode ser fracionário se o tempo não for um inteiro de anos).\n
    Na convenção linear, meses contam como fração do ano: \frac{\text{meses}}{12}. Então vamos transformar 2 anos e 3 meses em anos decimais no Passo 3.

Passo 3

Converter o tempo usando a convenção linear:\n
n = 2 + \frac{3}{12} = 2 + 0,25 = 2,25 \text{ anos}.\n
Portanto usaremos n=2,25 na fórmula de juros compostos.

Passo 4

Substituindo na fórmula:\n
M = 20000\,(1+0,10)^{2,25} = 20000\,(1,10)^{2,25}.\n
Expliquei: 1+0,10 = 1,10. Agora vamos calcular (1,10)^{2,25}. Para facilitar, separamos a parte inteira e a parte fracionária do expoente.

Passo 5

Separando o expoente: \n
(1,10)^{2,25} = (1,10)^{2} \cdot (1,10)^{0,25}.\n
Calculamos a parte inteira facilmente: \n
(1,10)^{2} = 1,10^2 = 1,21.\n
Logo\n
M = 20000 \times 1,21 \times (1,10)^{0,25}.

Passo 6

Interpretação da parte fracionária: (1,10)^{0,25} é a raiz quarta de 1,10 (porque 0,25 = \tfrac{1}{4}). Uma forma prática e precisa de calcular raízes não-inteiras é usar logs: \n
(1,10)^{0,25} = e^{0,25\ln(1,10)}.\n
Agora calculamos passo a passo para obter um valor numérico aproximado mas bem acurado.

Passo 7

Calcular \ln(1,10) (valor aproximado) e multiplicar por 0,25:\n
\ln(1,10) \approx 0,0953101798,\n
0,25\ln(1,10) \approx 0,25 \times 0,0953101798 \approx 0,02382754495.

Passo 8

Calcular e^{0,02382754495} usando a expansão em série de e^{y} (para y pequeno, a expansão converge rápido):\n
e^{y} \approx 1 + y + \frac{y^{2}}{2} + \frac{y^{3}}{6} + \cdots\n
Tomando y = 0,02382754495:\n
y \approx 0,023827545,\n
\frac{y^{2}}{2} \approx \frac{(0,023827545)^{2}}{2} \approx 0,0002838075,\n
\frac{y^{3}}{6} \approx \text{muito pequeno } \approx 0,000002255.\n
Somando os termos principais:\n
e^{y} \approx 1 + 0,023827545 + 0,0002838075 + 0,000002255 \approx 1,0241136.\n
Portanto\n
(1,10)^{0,25} \approx 1,0241136.

Passo 9

Voltar ao montante:\n
(1,10)^{2,25} = 1,21 \times 1,0241136 \approx 1,239195996.\n
Multiplicando pelo capital:\n
M = 20000 \times 1,239195996 \approx 24783,91992.

Passo 10

Arredondando para centavos (duas casas decimais), o montante final é aproximadamente:\n
M \approx R\$24.783,92.

Resposta

R\$24.783,92

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