Se a distribuição de temperatura numa chapa metálica é dada pela função T(x, y)=8+3 x^{2}-4 x y e se uma formiga está sobre a chapa no ponto (x, y)=(2,-1) e deseja se aquecer, pois está sentindo muito frio. Que direção deverá tomar sua caminhada para que isso ocorra de modo mais eficiente? Resposta
a) (10,-7)
b) (6,3)
c) (2,-1)
d) (-14,4)
e) (16,-8)

Passo 1

O enunciado dá a distribuição de temperatura na chapa por T(x,y)=8+3x^{2}-4xy. A formiga está no ponto (2,-1) e quer se aquecer, isto é, deseja andar na direção em que a temperatura aumenta mais rapidamente. As informações relevantes são:
  • a função temperatura T(x,y)=8+3x^{2}-4xy,
  • o ponto inicial \,(2,-1)\,,
  • as alternativas de direção:
    a) (10,-7)
    b) (6,3)
    c) (2,-1)
    d) (-14,4)
    e) (16,-8).
    A pergunta: qual direção a formiga deve tomar para aquecer da forma mais eficiente (direção de máxima subida)?

Passo 2

Conceito importante (explicado passo a passo): direção de máxima taxa de aumento de uma função de duas variáveis.
  • A derivada direcional de T na direção de um vetor unitário \mathbf{u} é dada por
D_{\mathbf{u}}T(x,y)=\nabla T(x,y)\cdot\mathbf{u},
onde \nabla T(x,y) é o gradiente de T no ponto (x,y).
  • O gradiente \nabla T(x,y) é o vetor formado pelas derivadas parciais
\displaystyle \nabla T(x,y)=\left(\frac{\partial T}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial T}{\partial y}(x,y)\right).
  • Uma propriedade chave: entre todos os vetores unitários \mathbf{u}, a quantidade \nabla T\cdot\mathbf{u} é máxima quando \mathbf{u} aponta na mesma direção de \nabla T. Intuição rápida: \nabla T\cdot\mathbf{u}=\|\nabla T\|\,\|\mathbf{u}\|\cos\theta=\|\nabla T\|\cos\theta, que é maximizado quando \cos\theta=1, ou seja, \theta=0 (mesma direção).
    Portanto, a direção de máxima eficiência para a formiga é a direção do vetor gradiente \nabla T no ponto considerado (qualquer múltiplo positivo do gradiente também serve).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de T(x,y)=8+3x^{2}-4xy.
  • Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial T}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(8+3x^{2}-4xy\bigr)=6x-4y.
Aqui usei que \frac{d}{dx}(3x^{2})=6x e \frac{\partial}{\partial x}(-4xy)=-4y (tratando y como constante).
  • Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial T}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(8+3x^{2}-4xy\bigr)=-4x.
Aqui \frac{\partial}{\partial y}(3x^{2})=0 (pois x é constante) e \frac{\partial}{\partial y}(-4xy)=-4x.

Passo 4

Formar o gradiente geral e avaliá‑lo no ponto (2,-1).
  • Gradiente geral:
\displaystyle \nabla T(x,y)=\bigl(6x-4y,\,-4x\bigr).
  • Avaliando em (2,-1):
\frac{\partial T}{\partial x}(2,-1)=6\cdot 2-4\cdot(-1)=12+4=16,
\frac{\partial T}{\partial y}(2,-1)=-4\cdot 2=-8.
Logo
\displaystyle \nabla T(2,-1)=(16,-8).

Passo 5

Interpretação e comparação com as alternativas. Pelo argumento teórico do Passo 2, a direção de máxima taxa de aumento da temperatura é a direção do vetor \nabla T(2,-1). Encontramos \nabla T(2,-1)=(16,-8), que coincide exatamente com a alternativa e). Não é preciso normalizar o vetor porque as alternativas são dadas como vetores de direção; qualquer múltiplo positivo de (16,-8) representa a mesma direção de subida.

Resposta

e) (16,-8)

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