Se a distribuição de temperatura numa chapa metálica é dada pela função
e se uma formiga está sobre a chapa no ponto
e deseja se aquecer, pois está sentindo muito frio. Que direção deverá tomar sua caminhada para que isso ocorra de modo mais eficiente? Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá a distribuição de temperatura na chapa por
. A formiga está no ponto
e quer se aquecer, isto é, deseja andar na direção em que a temperatura aumenta mais rapidamente. As informações relevantes são:
- a função temperatura
, - o ponto inicial
, - as alternativas de direção:
a)
b)
c)
d)
e).
A pergunta: qual direção a formiga deve tomar para aquecer da forma mais eficiente (direção de máxima subida)?
Passo 2
Conceito importante (explicado passo a passo): direção de máxima taxa de aumento de uma função de duas variáveis.
- A derivada direcional de
na direção de um vetor unitário é dada por
onde
é o gradiente de
no ponto
.
- O gradiente
é o vetor formado pelas derivadas parciais
- Uma propriedade chave: entre todos os vetores unitários
, a quantidade é máxima quando aponta na mesma direção de . Intuição rápida: , que é maximizado quando , ou seja, (mesma direção).
Portanto, a direção de máxima eficiência para a formiga é a direção do vetor gradienteno ponto considerado (qualquer múltiplo positivo do gradiente também serve).
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
- Derivada parcial em relação a
:
Aqui usei que
e
(tratando
como constante).
- Derivada parcial em relação a
:
Aqui
(pois
é constante) e
.
Passo 4
Formar o gradiente geral e avaliá‑lo no ponto
.
- Gradiente geral:
- Avaliando em
:
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Passo 5
Interpretação e comparação com as alternativas. Pelo argumento teórico do Passo 2, a direção de máxima taxa de aumento da temperatura é a direção do vetor
. Encontramos
, que coincide exatamente com a alternativa e). Não é preciso normalizar o vetor porque as alternativas são dadas como vetores de direção; qualquer múltiplo positivo de
representa a mesma direção de subida.
Resposta
e)