O polinômio de Taylor de ordem 2 da função f(x, y)=x^{4} y-y^{3}+2 x^{2}-3 x y+2 x-y+ em torno da origem é
Resposta
a. \quad p_{2}(x, y)=x^{4} y-y^{3}+2 x^{2}-3 x y+ \bigcirc
b. p_{2}(x, y)=2 x^{2}+2 x-y+4 \bigcirc
c. p_{2}(x, y)=2 x^{2}-3 x y+4 \bigcirc
d. p_{2}(x, y)=-3 x y-y^{3}+2 x^{2}+4 \bigcirc
e. p_{2}(x, y)=2 x^{2}-3 x y+2 x-y+4 \bigcirc

Passo 1

O enunciado pede: “Obter o polinômio de Taylor de ordem 2 da função \,f(x,y)=x^{4}y-y^{3}+2x^{2}-3xy+2x-y+ em torno da origem.” As informações dadas que vou usar são:
\text{função: }\;f(x,y)=x^{4}y-y^{3}+2x^{2}-3xy+2x-y+C,çã
onde notei que o enunciado terminou com um sinal de mais. Para que as alternativas façam sentido (várias contêm constante 4), assumirei que o termo constante é C=4. Portanto trabalho com
f(x,y)=x^{4}y-y^{3}+2x^{2}-3xy+2x-y+4.
O que é pedido: calcular o polinômio de Taylor de ordem 2 centrado em (0,0), ou seja, a aproximação por termos até grau 2.

Passo 2

Fórmula (explicada passo a passo): para uma função de duas variáveis, o polinômio de Taylor de ordem 2 em torno da origem (0,0) é
p_{2}(x,y)=f(0,0)+f_{x}(0,0)\,x+f_{y}(0,0)\,y+\frac{1}{2}\big(f_{xx}(0,0)\,x^{2}+2f_{xy}(0,0)\,xy+f_{yy}(0,0)\,y^{2}\big).
Aqui:
  • f(0,0) é o valor da função na origem (constante do polinômio).
  • f_{x}(0,0) e f_{y}(0,0) são as derivadas parciais de primeira ordem avaliadas na origem (coeficientes lineares).
  • f_{xx}(0,0), f_{xy}(0,0), f_{yy}(0,0) são as derivadas parciais de segunda ordem avaliadas na origem (coeficientes quadráticos).
    O fator \tfrac{1}{2} aparece porque estamos tomando a expansão até segunda ordem (é análogo ao termo \tfrac{f''(0)}{2!}x^{2} em uma expansão univariada).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem e avaliá-las na origem. Vou derivar termo a termo e explicar cada peça:
Derivada em relação a x:
\begin{aligned} f(x,y)&=x^{4}y-y^{3}+2x^{2}-3xy+2x-y+4,\\[4pt] f_{x}(x,y)&=\frac{\partial}{\partial x}(x^{4}y)+\frac{\partial}{\partial x}(-y^{3})+\frac{\partial}{\partial x}(2x^{2})+\frac{\partial}{\partial x}(-3xy)+\frac{\partial}{\partial x}(2x)+\frac{\partial}{\partial x}(-y)+\frac{\partial}{\partial x}(4)\\[4pt] &=4x^{3}y+0+4x-3y+2+0+0\\[4pt] &=4x^{3}y+4x-3y+2. \end{aligned}
Agora avalio em (0,0):
f_{x}(0,0)=4\cdot 0^{3}\cdot 0+4\cdot 0-3\cdot 0+2=2.
Derivada em relação a y:
\begin{aligned} f_{y}(x,y)&=\frac{\partial}{\partial y}(x^{4}y)+\frac{\partial}{\partial y}(-y^{3})+\frac{\partial}{\partial y}(2x^{2})+\frac{\partial}{\partial y}(-3xy)+\frac{\partial}{\partial y}(2x)+\frac{\partial}{\partial y}(-y)+\frac{\partial}{\partial y}(4)\\[4pt] &=x^{4}-3y^{2}+0-3x+0-1+0\\[4pt] &=x^{4}-3y^{2}-3x-1. \end{aligned}
Avalio em (0,0):
f_{y}(0,0)=0-0-0-1=-1.
Portanto os coeficientes lineares são f_{x}(0,0)=2 (multiplica x) e f_{y}(0,0)=-1 (multiplica y), gerando os termos 2x e -y.]

Passo 4

Calcular as derivadas de segunda ordem e avaliá-las na origem.
Derivo f_{x} em relação a x para obter f_{xx}:
f_{x}(x,y)=4x^{3}y+4x-3y+2\quad\Rightarrow\quad f_{xx}(x,y)=12x^{2}y+4.
Avaliação em (0,0):
f_{xx}(0,0)=12\cdot 0^{2}\cdot 0+4=4.
Derivo f_{x} em relação a y (ou f_{y} em relação a x) para obter f_{xy}=f_{yx}:
f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(4x^{3}y+4x-3y+2)=4x^{3}-3.
Avaliação em (0,0):
f_{xy}(0,0)=4\cdot 0^{3}-3=-3.
Derivo f_{y} em relação a y para obter f_{yy}:
f_{y}(x,y)=x^{4}-3y^{2}-3x-1\quad\Rightarrow\quad f_{yy}(x,y)=-6y.
Avaliação em (0,0):
f_{yy}(0,0)=-6\cdot 0=0.
Resumo numérico das derivadas avaliadas na origem:
f(0,0)=4,\quad f_{x}(0,0)=2,\quad f_{y}(0,0)=-1,
f_{xx}(0,0)=4,\quad f_{xy}(0,0)=-3,\quad f_{yy}(0,0)=0.

Passo 5

Agora monto o polinômio de Taylor de ordem 2 usando a fórmula do Passo 2 e substituo os valores:
\begin{aligned} p_{2}(x,y)&=f(0,0)+f_{x}(0,0)x+f_{y}(0,0)y+\frac{1}{2}\big(f_{xx}(0,0)x^{2}+2f_{xy}(0,0)xy+f_{yy}(0,0)y^{2}\big)\\[6pt] &=4+2x+(-1)y+\frac{1}{2}\big(4x^{2}+2(-3)xy+0\cdot y^{2}\big)\\[6pt] &=4+2x-y+\frac{1}{2}\big(4x^{2}-6xy\big)\\[6pt] &=4+2x-y+2x^{2}-3xy. \end{aligned}
Observação didática final: os termos de grau maior que 2 na função original (como x^{4}y e -y^{3}) não aparecem em p_{2} porque suas contribuições às derivadas até segunda ordem, avaliadas na origem, são nulas — por isso eles não influenciam o polinômio de ordem 2.]

Resposta

\;p_{2}(x,y)=2x^{2}-3xy+2x-y+4

Exercícios relacionados