O polinômio de Taylor de ordem 2 da função
em torno da origem é
Resposta
a.
b.
c.
d.
e.
Resposta
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
O enunciado pede: “Obter o polinômio de Taylor de ordem 2 da função
em torno da origem.” As informações dadas que vou usar são:
onde notei que o enunciado terminou com um sinal de mais. Para que as alternativas façam sentido (várias contêm constante
), assumirei que o termo constante é
. Portanto trabalho com
O que é pedido: calcular o polinômio de Taylor de ordem
centrado em
, ou seja, a aproximação por termos até grau
.
Passo 2
Fórmula (explicada passo a passo): para uma função de duas variáveis, o polinômio de Taylor de ordem
em torno da origem
é
Aqui:
-
é o valor da função na origem (constante do polinômio). -
e são as derivadas parciais de primeira ordem avaliadas na origem (coeficientes lineares). -
são as derivadas parciais de segunda ordem avaliadas na origem (coeficientes quadráticos).
O fatoraparece porque estamos tomando a expansão até segunda ordem (é análogo ao termo em uma expansão univariada).
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de primeira ordem e avaliá-las na origem. Vou derivar termo a termo e explicar cada peça:
Derivada em relação a
:
Agora avalio em
:
Derivada em relação a
:
Avalio em
:
Portanto os coeficientes lineares são
(multiplica
) e
(multiplica
), gerando os termos
e
.]
Passo 4
Calcular as derivadas de segunda ordem e avaliá-las na origem.
Derivo
em relação a
para obter
:
Avaliação em
:
Derivo
em relação a
(ou
em relação a
) para obter
:
Avaliação em
:
Derivo
em relação a
para obter
:
Avaliação em
:
Resumo numérico das derivadas avaliadas na origem:
Passo 5
Agora monto o polinômio de Taylor de ordem
usando a fórmula do Passo 2 e substituo os valores:
Observação didática final: os termos de grau maior que
na função original (como
e
) não aparecem em
porque suas contribuições às derivadas até segunda ordem, avaliadas na origem, são nulas — por isso eles não influenciam o polinômio de ordem
.]