O capitão Ralph tem problemas, ficou perto de uma explosão e sua nave contem mercúrio. A temperatura na superfície da nave quando está no ponto
é de
, onde
se medem em metros. No momento da explosão ele se encontra no ponto
.
Se a nave se move com uma rapidez de
metros por segundo, a que velocidade baixará a temperatura quando se move nesta direção?
Se a nave se move com uma rapidez de
Passo 1
A nave tem temperatura em cada ponto dada por
. O capitão está no ponto
e a nave se move na direção do vetor
com rapidez
m/s. Para encontrar a velocidade com que a temperatura muda, vamos usar derivada direcional e regra da cadeia:
, onde
é o vetor velocidade.
Passo 2
Para achar o gradiente de
, derivamos parcialmente em cada variável:
Passo 3
No ponto
temos
e
Passo 4
O vetor de direção da nave é
. Seu versor (unitário) é
Passo 5
A derivada direcional de
nessa direção vale
Passo 6
Finalmente, como
, pela regra da cadeia: