O capitão Ralph tem problemas, ficou perto de uma explosão e sua nave contem mercúrio. A temperatura na superfície da nave quando está no ponto (x, y, z) é de T(x, y, z)=e^-x^2-2 y^2-3 z^2, onde x, y, z se medem em metros. No momento da explosão ele se encontra no ponto (1,-2,1).
Se a nave se move com uma rapidez de e^6 metros por segundo, a que velocidade baixará a temperatura quando se move nesta direção?

Passo 1

A nave tem temperatura em cada ponto dada por T(x,y,z)=e^-x^2-2y^2-3z^2. O capitão está no ponto (1,-2,1) e a nave se move na direção do vetor (1,-2,1) com rapidez e^6 m/s. Para encontrar a velocidade com que a temperatura muda, vamos usar derivada direcional e regra da cadeia: dTdt=nabla Tcdot v, onde v=e^6u é o vetor velocidade.

Passo 2

Para achar o gradiente de T, derivamos parcialmente em cada variável:
partial Tpartial x=-2x,e^-x^2-2y^2-3z^2,
partial Tpartial y=-4y,e^-x^2-2y^2-3z^2,
partial Tpartial z=-6z,e^-x^2-2y^2-3z^2

Passo 3

No ponto (1,-2,1) temos T(1,-2,1)=e^-12 e
nabla T(1,-2,1)=(-2,8,-6)e^-12

Passo 4

O vetor de direção da nave é (1,-2,1). Seu versor (unitário) é
u = 1raiz6(1,-2,1)

Passo 5

A derivada direcional de T nessa direção vale
DuT = nabla T(1,-2,1)cdot u = e^-121raiz6[-2-16-6] = -4raiz6,e^-12

Passo 6

Finalmente, como v=e^6u, pela regra da cadeia:
dTdt=DuTtimes e^6 = -4raiz6,e^-12times e^6 = -4raiz6,e^-6

Resposta

dfracdTdt=-4raiz6,e^-6

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