Capítulo 6: A Transformada de Laplace
Seção 6.2: Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
y^prime prime+2 y^prime+3 y=sen t+upi(t) sen(t-pi), y(0)=0, y^prime(0)=1

Passo 1

O problema é resolver o IVP
y''+2y'+3y=sin t + upi(t),sin(t-pi), y(0)=0,;y'(0)=1,
usando a Transformada de Laplace. Vamos precisar das fórmulas
Ly'=sY(s)-y(0), Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0),
e da propriedade do degrau unitário
Lua(t)f(t-a)=e^-a sF(s),
onde F(s)=Lf(t).

Passo 2

Aplicando Laplace em ambos os lados e usando y(0)=0, y'(0)=1, obtemos
l(s^2Y(s)-1r)+2l(sY(s)r)+3Y(s) =1s^2+1 +;e^-pi s,1s^2+1
Agrupando em Y(s):
(s^2+2s+3),Y(s)-1 =1s^2+1+e^-pi ss^2+1,
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Y(s) =1s^2+2s+3 +;1(s^2+1)(s^2+2s+3) ;+;e^-pi s,1(s^2+1)(s^2+2s+3)

Passo 3

Escrevemos
Y(s)=A(s)+e^-pi sB(s),
com
A(s) =1s^2+2s+3 +1(s^2+1)(s^2+2s+3), B(s) =1(s^2+1)(s^2+2s+3)
Primeiro achamos a(t)=L^-1A(s). A parte
1s^2+2s+3 se reescreve com s^2+2s+3=(s+1)^2+2, então
L^-1!l1s^2+2s+3r =e^-t,1raiz2sinl(raiz2,tr)
Portanto
a(t) =e^-t,1raiz2sinl(raiz2,tr) +L^-1!ltfrac1(s^2+1)(s^2+2s+3)r

Passo 4

Para B(s)=1/[(s^2+1)((s+1)^2+2)] fazemos frações parciais:
1(s^2+1)((s+1)^2+2) =-tfrac14,s+tfrac14s^2+1 +tfrac14,(s+1)(s+1)^2+2
Invertendo cada termo:
L^-1!lss^2+1r=cos t, L^-1!l1s^2+1r=sin t,
L^-1!ls+1(s+1)^2+2r =e^-tcosl(raiz2,tr)
Assim,
b(t) =L^-1B(s) =-tfrac14cos t+tfrac14sin t +tfrac14,e^-tcosl(raiz2,tr)

Passo 5

Voltando ao teorema do degrau, a parte com e^-pi sB(s)
L^-1e^-pi sB(s) =upi(t),b(t-pi)
Logo a solução é
y(t) =a(t)+upi(t),b(t-pi)

Resposta

y(t) =e^-t,1raiz2sinl(raiz2tr) -tfrac14cos t +tfrac14sin t +tfrac14,e^-tcosl(raiz2tr) ;+;upi(t)l[ -tfrac14cos(t-pi) +tfrac14sin(t-pi) +tfrac14,e^-(t-pi)cosl(raiz2(t-pi)r) r]

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