Capítulo 6: A Transformada de Laplace
Seção 6.3: Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
y^prime prime+y=de<a(t-2 pi) cos t, y(0)=0, y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + y = de<a(t - 2pi),cos t, y(0)=0,;y'(0)=1
usando Transformada de Laplace. Vamos precisar das propriedades:
  1. Ly''(s)=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0).
  2. Lde<a(t-a)f(t)(s)=e^-a sf(a).
  3. Transformada inversa de 1s^2+1 é sin t.
  4. Teorema do deslocamento: L^-1e^-a sF(s)=f(t-a),U(t-a).

Passo 2

Aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da EDO:
Ly'' + Ly =Lde<a(t-2pi)cos t
Usando y(0)=0 e y'(0)=1 obtemos
(s^2Y(s)-1) + Y(s) = e^-2pi scos(2pi)
Como cos(2pi)=1, fica
(s^2+1),Y(s)-1 = e^-2pi s

Passo 3

Isolando Y(s):
(s^2+1),Y(s)=1 + e^-2pi s Longrightarrow Y(s)=1s^2+1 ;+;e^-2pi ss^2+1

Passo 4

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo:
L^-1ltfrac1s^2+1r=sin t, L^-1ltfrace^-2pi ss^2+1r =sinl(t-2pir),U(t-2pi)
Logo
y(t)=sin t + sin(t-2pi),U(t-2pi)

Passo 5

Observando a identidade de período de seno,
sin(t-2pi)=sin t,
podemos escrever a solução de forma piecewise:
y(t)= sin t,&0<= t<2pi, sin t + sin t =2sin t,&t>=2pi

Resposta

boxedy(t)=sin t + U(t-2pi),sin(t-2pi),
ou equivalentemente
y(t)= sin t,&0<= t<2pi, 2sin t,&t>=2pi

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