Capítulo 6: A Transformada de Laplace
Seção 6.1: Encontre a transformada de Laplace da função dada. Determine uma condição sobre

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
f(t) = 0, & t<2, (t-2)^2, & t>=2,
e uma condição em s para que essa transformada exista. O conteúdo principal é o teorema do deslocamento no tempo, usando a representação com o degrau unitário.

Passo 2

Reescrevemos f(t) usando o degrau unitário u(t-2). Definindo tau = t-2, temos
f(t) = u(t-2),(t-2)^2 = u(t-2),tau^2

Passo 3

Pelo teorema do deslocamento, se g(tau) tem transformada G(s), então
Lu(t-a),g(t-a) = e^-a s,G(s)
Aqui a=2 e g(tau)=tau^2.

Passo 4

Calculamos a transformada de tau^2:
G(s) = Ltau^2 = integral0^infty tau^2,e^-stau,dtau = 2s^3,
válida para Re(s)>0.

Passo 5

Aplicando o deslocamento em a=2, obtemos
F(s) = Lf(t) = e^-2s,2s^3
A região de convergência permanece Re(s)>0.

Resposta

F(s) = 2,e^-2ss^3, Re(s)>0

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