Capítulo 6: A Transformada de Laplace
Seção 6.1: Encontre a transformada de Laplace da função dada. Determine uma condição sobre

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(t)= 0,&t<1, t^2-2t+2,&t>=1,
e pede sua transformada de Laplace. O conteúdo é aplicação do Teorema do Deslocamento no domínio do tempo (usando a função degrau de Heaviside). Para resolver, vamos escrever f(t) como u(t-1) vezes uma função deslocada e usar
Lu(t-a)p(t-a)(s)=e^-as,P(s)

Passo 2

Escrevemos
f(t)=u(t-1),h(t-1),
onde, fazendo tau=t-1, temos
h(tau)=(tau+1)^2-2(tau+1)+2 =tau^2+2tau+1-2tau-2+2 =tau^2+1

Passo 3

Pelo Teorema do Deslocamento,
F(s)=Lf(t)(s) =Lu(t-1),h(t-1)(s) =e^-s,Lh(tau)(s)

Passo 4

Agora calculamos
Lh(tau)(s) =Ltau^2+1(s) =integral0^inftye^-stau(tau^2+1),dtau
Usando fórmulas conhecidas:
integral0^inftye^-stautau^2,dtau=2s^3, integral0^inftye^-stau,dtau=1s,
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Lh(tau)(s)=2s^3+1s

Passo 5

Substituindo em F(s), obtemos
F(s)=e^-sl(2s^3+1sr)
Para que todas as integrais de Laplace convirjam, precisamos de Re(s)>0.

Resposta

F(s)=e^-sl(2s^3+1sr), Re(s)>0

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