(i) Existe alguma simetria na representação geométrica do gráfico de uma função par? Qual? E da representação do gráfico de uma função ímpar?
(ii) Mostre que dada uma função f: R R, podemos encontrar uma função g: R R, que é uma função par, e uma função h: R R, que é uma função ímpar, tal que f(x)=g(x)+h(x), para x in R.
(iii) Quais das seguintes funções abaixo são pares e quais são ímpares:

Passo 1

O exercício trata de paridade de funções. No item (i) queremos identificar as simetrias geométricas do gráfico de uma função par e de uma ímpar; no item (ii) precisamos mostrar que qualquer função fcolon RtoR se decompõe como soma de uma parte par g e de uma parte ímpar h; o item (iii) pede para classificar algumas funções dadas como pares ou ímpares, mas essas funções não foram informadas.

Passo 2

Uma função f é par se satisfaz ,f(-x)=f(x) para todo x. Geometricamente, isso significa que o gráfico de f é simétrico em relação ao eixo y: o ponto l(-a,f(-a)r) coincide com l(-a,f(a)r), espelhando-se em y.
Uma função f é ímpar se satisfaz ,f(-x)=-f(x) para todo x. Geometricamente, seu gráfico é simétrico em relação à origem: o ponto l(-a,f(-a)r) coincide com l(-a,-f(a)r), que é o giro de 180^circ de l(a,f(a)r).

Passo 3

Dada qualquer função f, definimos
g(x)=f(x)+f(-x)2, h(x)=f(x)-f(-x)2
Então
g(-x)=tfracf(-x)+f(x)2=tfracf(x)+f(-x)2=g(x),
logo g é par, e
h(-x)=tfracf(-x)-f(x)2=-tfracf(x)-f(-x)2=-h(x),
logo h é ímpar. Soma-las dá
g(x)+h(x) =f(x)+f(-x)2+f(x)-f(-x)2 =f(x)

Passo 4

No item (iii) não há como classificar as funções porque a lista delas não foi fornecida no enunciado.

Resposta

(i) Gráfico de função par: simétrico em relação ao eixo y.
Gráfico de função ímpar: simétrico em relação à origem.
(ii) Basta tomar
g(x)=f(x)+f(-x)2(par), h(x)=f(x)-f(-x)2(ímpar), í
pois então f(x)=g(x)+h(x).
(iii) Não é possível responder por falta das funções a serem classificadas.

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