(i) Existe alguma simetria na representação geométrica do gráfico de uma função par? Qual? E da representação do gráfico de uma função ímpar?
(ii) Mostre que dada uma função
, podemos encontrar uma função
, que é uma função par, e uma função
, que é uma função ímpar, tal que
, para
.
(iii) Quais das seguintes funções abaixo são pares e quais são ímpares:
(ii) Mostre que dada uma função
(iii) Quais das seguintes funções abaixo são pares e quais são ímpares:
Passo 1
O exercício trata de paridade de funções. No item (i) queremos identificar as simetrias geométricas do gráfico de uma função par e de uma ímpar; no item (ii) precisamos mostrar que qualquer função
se decompõe como soma de uma parte par
e de uma parte ímpar
; o item (iii) pede para classificar algumas funções dadas como pares ou ímpares, mas essas funções não foram informadas.
Passo 2
Uma função
é par se satisfaz
para todo
. Geometricamente, isso significa que o gráfico de
é simétrico em relação ao eixo
: o ponto
coincide com
, espelhando-se em
.
Uma função é ímpar se satisfaz
para todo
. Geometricamente, seu gráfico é simétrico em relação à origem: o ponto
coincide com
, que é o giro de
de
.
Uma função
Passo 3
Dada qualquer função
, definimos
Então
logo
é par, e
logo
é ímpar. Soma-las dá
Passo 4
No item (iii) não há como classificar as funções porque a lista delas não foi fornecida no enunciado.
Resposta
(i) Gráfico de função par: simétrico em relação ao eixo
.
Gráfico de função ímpar: simétrico em relação à origem.
Gráfico de função ímpar: simétrico em relação à origem.
(ii) Basta tomar
pois então
.
(iii) Não é possível responder por falta das funções a serem classificadas.