Resolva os PVIs:
lraiz1-(y(t))^2-raiz1-t^2 y^prime(t) equiv 0, y(0)=raiz32

Passo 1

O enunciado dá o PVI
raiz1-(y(t))^2 ;-;raiz1-t^2;y'(t)equiv0, y(0)=raiz32
O conteúdo é EDO separável: vamos isolar y' e separar variáveis.

Passo 2

Reescrevendo a equação,
raiz1-(y(t))^2=raiz1-t^2;y'(t) Longrightarrow y'(t)=raiz1-y^2raiz1-t^2
Isso mostra que podemos separar em
dyraiz1-y^2=dtraiz1-t^2

Passo 3

Integramos os dois lados:
integraldyraiz1-y^2 =integraldtraiz1-t^2 Longrightarrow arcsin(y)=arcsin(t)+C
Logo a solução geral é
y(t)=sinl(arcsin(t)+Cr)

Passo 4

Usamos a condição inicial y(0)=tfracraiz32:
y(0)=sin(C)=raiz32 Longrightarrow C=pi3
(considerando o ramo principal de arcsin).

Passo 5

Substituindo C=tfracpi3 em y(t),
y(t)=sin!l(arcsin(t)+tfracpi3r)
Usando a fórmula de soma de seno,
y(t) =sin(arcsin(t))costfracpi3+cos(arcsin(t))sintfracpi3 =tcdot12+raiz1-t^2cdotraiz32

Resposta

y(t)=t2+raiz32,raiz1-t^2

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