Uma capivara anda à margem de um rio, que está coberta de lama. A lama fica cada vez mais pegajosa quanto mais próxima do rio, de modo que a cada instante a velocidade da capivara é diretamente proporcional à sua distância ao rio.
Suponha (num modelo no plano ) que o rio se encontra sobre eixo e que a capivara quer ir do ponto ao ponto .
Suponha que a capivara leva 574 segundos para ir em linha reta de até . Se ela caminhar ao longo do menor arco de circunferência com centro na origem e que passa por e , ela levará segundos para algum inteiro .
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. Temos uma capivara que quer ir do ponto A=(-73, 73√3) até o ponto B=(73, 73√3) à margem de um rio que está no eixo x. A velocidade dela depende da distância ao rio, ou seja, quanto mais longe do rio (quanto maior a coordenada y), mais rápida ela anda. A questão quer saber quanto tempo ela leva para fazer esse trajeto se ela seguir o caminho mais curto ao longo de uma circunferência centrada na origem, e esse tempo está relacionado a uma expressão envolvendo √3 e o logaritmo natural de 3. Para resolver, vamos usar conceitos de geometria e cálculo, especialmente integrais relacionadas a velocidade variável.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o caminho reto. Do ponto A até o B na linha reta, a capivara anda numa linha paralela ao eixo x, mantendo a mesma coordenada y = 73√3. Sabemos que ela leva 574 segundos para esse percurso. A distância entre A e B é a diferença nas coordenadas x, ou seja, 73 - (-73) = 146 unidades.
Passo 3
Como a velocidade é diretamente proporcional à distância ao rio, podemos escrever v = k * y, onde k é a constante de proporcionalidade e y = 73√3 nesse caso. O tempo total (t) para percorrer a distância (d) é dado por t = d / v. Substituindo, temos 574 = 146 / (k * 73√3).
Passo 4
Resolvendo para a constante k:
Passo 5
Agora, vamos considerar o caminho ao longo da circunferência. Primeiramente, determinamos o raio da circunferência que passa por A e B. Usando a fórmula do raio para um círculo centrado na origem:
Passo 6
O ângulo central correspondente ao arco AB pode ser encontrado usando o produto interno dos vetores OA e OB:
Então, ou radianos.
Passo 7
Para calcular o tempo ao longo do arco, usamos a integral do tempo diferencial , onde e . Assim: