Uma capivara anda à margem de um rio, que está coberta de lama. A lama fica cada vez mais pegajosa quanto mais próxima do rio, de modo que a cada instante a velocidade da capivara é diretamente proporcional à sua distância ao rio.
Suponha (num modelo no plano R^2 ) que o rio se encontra sobre circ eixo x e que a capivara quer ir do ponto A=(-73,73 raiz3) ao ponto B=(73,73 raiz3).
Suponha que a capivara leva 574 segundos para ir em linha reta de A até B. Se ela caminhar ao longo do menor arco de circunferência com centro na origem (0,0) e que passa por A e B, ela levará N cdot raiz3 cdot ln (3) segundos para algum inteiro N.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. Temos uma capivara que quer ir do ponto A=(-73, 73√3) até o ponto B=(73, 73√3) à margem de um rio que está no eixo x. A velocidade dela depende da distância ao rio, ou seja, quanto mais longe do rio (quanto maior a coordenada y), mais rápida ela anda. A questão quer saber quanto tempo ela leva para fazer esse trajeto se ela seguir o caminho mais curto ao longo de uma circunferência centrada na origem, e esse tempo está relacionado a uma expressão envolvendo √3 e o logaritmo natural de 3. Para resolver, vamos usar conceitos de geometria e cálculo, especialmente integrais relacionadas a velocidade variável.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o caminho reto. Do ponto A até o B na linha reta, a capivara anda numa linha paralela ao eixo x, mantendo a mesma coordenada y = 73√3. Sabemos que ela leva 574 segundos para esse percurso. A distância entre A e B é a diferença nas coordenadas x, ou seja, 73 - (-73) = 146 unidades.

Passo 3

Como a velocidade é diretamente proporcional à distância ao rio, podemos escrever v = k * y, onde k é a constante de proporcionalidade e y = 73√3 nesse caso. O tempo total (t) para percorrer a distância (d) é dado por t = d / v. Substituindo, temos 574 = 146 / (k * 73√3).

Passo 4

Resolvendo para a constante k:
574 = 146k cdot 73raiz3
574 = 2kraiz3
k = 2574raiz3

Passo 5

Agora, vamos considerar o caminho ao longo da circunferência. Primeiramente, determinamos o raio da circunferência que passa por A e B. Usando a fórmula do raio para um círculo centrado na origem:
r = raiz(-73)^2 + (73raiz3)^2 = raiz5329 + 15939 = raiz21268 = 146

Passo 6

O ângulo central correspondente ao arco AB pode ser encontrado usando o produto interno dos vetores OA e OB:
cos(theta) = OA cdot OB|OA| |OB| = (-73)(73) + (73raiz3)(73raiz3)146^2 = -73^2 + 3 cdot 73^2146^2 = 2 cdot 73^2146^2 = 24 = 0.5
Então, theta = 60^circ ou pi/3 radianos.

Passo 7

Para calcular o tempo ao longo do arco, usamos a integral do tempo diferencial dt = dsv, onde ds = r dphi e v = k cdot y = k cdot r sin(phi). Assim:
dt = r dphik r sin(phi) = dphik sin(phi)
O tempo total T será:
T = integralpi/3^2pi/3 dphik sin(phi) = 1k integralpi/3^2pi/3 dphisin(phi)

Passo 8

A integral de 1/sin(phi) é ln|tan(phi/2)|, então:
T = 1k [ ln|tan(2pi3 cdot 12)| - ln|tan(pi3 cdot 12)| ]
T = 1k [ ln(raiz3) - ln(1raiz3) ]
T = 1k [ ln(raiz3) + ln(raiz3) ] = 2ln(raiz3)k = ln(3)k

Passo 9

Substituindo o valor de k encontrado no Passo 4:
T = ln(3)2574raiz3 = 574raiz3 cdot ln(3)2 = 287raiz3 ln(3)

Resposta

O valor de N é 287.

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