A integral
integralQ 111 x+83 y1+8 x+6 y d x wed>= d y
sobre o quadrilátero Q de vértices
(0,0) (6,-8) (-415,555) (-409,547)
é da forma ln (N) para algum inteiro N. Determine N.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral definida sobre um quadrilátero Q com quatro vértices dados. A função que estamos integrando é 111x + 83y1 + 8x + 6y. Nosso objetivo é achar o valor dessa integral, que é igual a ln(N), e descobrir qual é o número inteiro N. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de integrais duplas e mudanças de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função dentro da integral: 111x + 83y1 + 8x + 6y. Observamos que o numerador é uma combinação linear de x e y, e o denominador também é uma combinação linear de x e y mais 1. Isso sugere que podemos simplificar a integral usando uma substituição que torne o denominador uma nova variável.

Passo 3

Vamos definir uma nova variável u para simplificar o denominador. Seja u = 1 + 8x + 6y. Agora, precisamos expressar o numerador 111x + 83y em termos de u.

Passo 4

Calculando a derivada de u em relação a x e y, temos:
du = 8dx + 6dy
Isso nos ajuda a relacionar dx e dy com du.

Passo 5

Agora, reorganizamos o numerador 111x + 83y para expressá-lo em termos de u. Podemos escrever:
111x + 83y = a(8x + 6y) + b
Vamos encontrar os coeficientes a e b que satisfazem essa igualdade.

Passo 6

Resolvendo o sistema:
111 = 8a 83 = 6a + b
Da primeira equação, a = 1118. Substituindo na segunda:
83 = 6(1118) + b 83 = 6668 + b 83 = 83.25 + b b = -0.25

Passo 7

Com a = 1118 e b = -14, podemos reescrever o numerador:
111x + 83y = 1118(8x + 6y) - 14
Substituindo na integral:
integralQ 1118(8x + 6y) - 141 + 8x + 6y dx wed>= dy = 1118 integralQ 8x + 6yu dx wed>= dy - 14 integralQ 1u dx wed>= dy

Passo 8

Observamos que 8x + 6yu = du - 0u, então a primeira integral se simplifica:
1118 integralQ duu = 1118 ln(u) g|limites
E a segunda integral:
-14 integralQ 1u dx wed>= dy
No entanto, para simplificar, notamos que a integral original pode ser transformada em um logaritmo diretamente após a substituição.

Passo 9

Aplicando a substituição u = 1 + 8x + 6y, a integral se torna:
integral duu = ln|u| + C
Para os limites sobre o quadrilátero Q, precisamos calcular u nos vértices.

Passo 10

Calculando u nos vértices:
  • Em (0,0): u = 1 + 0 + 0 = 1
  • Em (6,-8): u = 1 + 48 - 48 = 1
  • Em (-415,555): u = 1 - 3320 + 3330 = 11
  • Em (-409,547): u = 1 - 3272 + 3282 = 11

Passo 11

Portanto, a integral avalia-se como:
ln(11) - ln(1) = ln(11)

Resposta

N = 11

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