A integral
sobre o quadrilátero de vértices
é da forma para algum inteiro . Determine .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral definida sobre um quadrilátero Q com quatro vértices dados. A função que estamos integrando é . Nosso objetivo é achar o valor dessa integral, que é igual a , e descobrir qual é o número inteiro . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de integrais duplas e mudanças de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função dentro da integral: . Observamos que o numerador é uma combinação linear de e , e o denominador também é uma combinação linear de e mais 1. Isso sugere que podemos simplificar a integral usando uma substituição que torne o denominador uma nova variável.
Passo 3
Vamos definir uma nova variável para simplificar o denominador. Seja . Agora, precisamos expressar o numerador em termos de .
Passo 4
Calculando a derivada de em relação a e , temos:
Isso nos ajuda a relacionar e com .
Passo 5
Agora, reorganizamos o numerador para expressá-lo em termos de . Podemos escrever:
Vamos encontrar os coeficientes e que satisfazem essa igualdade.
Passo 6
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, a = 1118. Substituindo na segunda:
83 = 6(1118) + b 83 = 6668 + b 83 = 83.25 + b b = -0.25
Passo 7
Com a = 1118 e b = -14, podemos reescrever o numerador:
111x + 83y = 1118(8x + 6y) - 14
Substituindo na integral:
integralQ 1118(8x + 6y) - 141 + 8x + 6y dx wed>= dy = 1118 integralQ 8x + 6yu dx wed>= dy - 14 integralQ 1u dx wed>= dy
Passo 8
Observamos que 8x + 6yu = du - 0u, então a primeira integral se simplifica:
1118 integralQ duu = 1118 ln(u) g|limites
E a segunda integral:
-14 integralQ 1u dx wed>= dy
No entanto, para simplificar, notamos que a integral original pode ser transformada em um logaritmo diretamente após a substituição.
Passo 9
Aplicando a substituição u = 1 + 8x + 6y, a integral se torna:
integral duu = ln|u| + C
Para os limites sobre o quadrilátero Q, precisamos calcular u nos vértices.