Considere o campo de força no plano R^2 dado por
F(x, y)=-y partialx+x partialy
O trabalho tau realizado por uma partícula que se desloca neste campo, dando uma volta no sentido anti-horário em torno do círculo de centro (39,0) e raio 5 , é da forma tau=pi N para um número inteiro N. Calcule N.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um campo de força no plano R^2 dado por F(x, y) = -y partialx + x partialy. Precisamos calcular o trabalho tau realizado por uma partícula que percorre um círculo com centro em (39, 0) e raio 5, dando uma volta completa no sentido anti-horário. Vamos descobrir o número inteiro N tal que tau = pi N.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa esse campo de força F(x, y) = (-y, x). Isso significa que, em cada ponto (x, y), a força tem uma componente -y na direção x e uma componente x na direção y. Esse tipo de campo é conhecido por gerar uma rotação ao redor da origem.

Passo 3

Agora, para calcular o trabalho tau feito por um campo de força ao longo de um caminho fechado, podemos usar o Teorema de Green. Esse teorema relaciona o trabalho realizado com a integral dupla da circulação do campo de força sobre a área encerrada pelo caminho.

Passo 4

O Teorema de Green nos diz que:
tau = ointC F cdot dr = integral duplaA ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) dA
Onde Fx = -y e Fy = x.

Passo 5

Vamos calcular o que está dentro da integral dupla:
partial Fypartial x = partial xpartial x = 1
partial Fxpartial y = partial (-y)partial y = -1
Então:
partial Fypartial x - partial Fxpartial y = 1 - (-1) = 2

Passo 6

Agora, a integral dupla fica:
tau = integral duplaA 2 , dA = 2 times Área do círculo Áí
Sabemos que a área de um círculo é pi r^2. Aqui, o raio r = 5, então:
Área = pi times 5^2 = 25pi Á

Passo 7

Substituindo na expressão do trabalho:
tau = 2 times 25pi = 50pi
Mas a questão nos diz que tau = pi N. Então:
50pi = pi N Rightarrow N = 50

Resposta

O valor de N é 50.

Exercícios relacionados