Considere o campo de força no plano
dado por
O trabalho
realizado por uma partícula que se desloca neste campo, dando uma volta no sentido anti-horário em torno do círculo de centro
e raio 5 , é da forma
para um número inteiro
. Calcule
.
O trabalho
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um campo de força no plano
dado por
. Precisamos calcular o trabalho
realizado por uma partícula que percorre um círculo com centro em
e raio 5, dando uma volta completa no sentido anti-horário. Vamos descobrir o número inteiro
tal que
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa esse campo de força
. Isso significa que, em cada ponto
, a força tem uma componente
na direção
e uma componente
na direção
. Esse tipo de campo é conhecido por gerar uma rotação ao redor da origem.
Passo 3
Agora, para calcular o trabalho
feito por um campo de força ao longo de um caminho fechado, podemos usar o Teorema de Green. Esse teorema relaciona o trabalho realizado com a integral dupla da circulação do campo de força sobre a área encerrada pelo caminho.
Passo 4
O Teorema de Green nos diz que:
Onde
e
.
Passo 5
Vamos calcular o que está dentro da integral dupla:
Então:
Passo 6
Agora, a integral dupla fica:
Sabemos que a área de um círculo é
. Aqui, o raio
, então:
Passo 7
Substituindo na expressão do trabalho:
Mas a questão nos diz que
. Então:
Resposta
O valor de
é 50.