O rato-toupeira-nu (naked mole-rat), eleito o vetebrado do ano em 2013 pela revista Science, é um mamífero roedor que não sente dor, é resistente a tumores e vive de forma muito similar às formigas, em colônias com uma rainha sob a terra, em ambientes com baixa concentração de oxigênio, graças à sua capacidade de metabolizar a frutose, assim como as plantas o fazem.
Um certo rato-toupeira-nu decidiu percorrer a hélice em parametrizada por
A distância percorrida pelo rato-toupeira-nu é da forma para certos números inteiros . Qual o valor de ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um rato-toupeira-nu que está percorrendo uma hélice no espaço tridimensional, ou seja, em . A hélice é definida pela função paramétrica:
para no intervalo . A pergunta quer saber qual é a distância total que o rato percorre ao seguir essa hélice, que é expressa na forma , onde e são números inteiros. Nosso objetivo final é encontrar o valor de .
Para resolver isso, vamos calcular o comprimento da curva definida por nesse intervalo. Para isso, vamos usar a fórmula do comprimento de uma curva paramétrica no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula para calcular o comprimento de uma curva paramétrica no intervalo :
Isso significa que precisamos derivar cada componente da função em relação a , elevar ao quadrado, somar tudo e tirar a raiz quadrada antes de integrar no intervalo dado.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de cada componente de :
Para :
Para :
Para :
Essas derivadas nos dão as taxas de variação de cada coordenada em relação a .
Passo 4
Agora, vamos montar a expressão dentro da integral do comprimento:
Simplificando cada termo:
Portanto:
Passo 5
Sabemos que (essa é uma identidade trigonométrica básica). Então:
Agora, nossa integral para o comprimento da curva fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Essa integral é uma forma padrão e a sua antiderivada é:
No entanto, para facilitar, vamos usar a substituição: