O rato-toupeira-nu (naked mole-rat), eleito o vetebrado do ano em 2013 pela revista Science, é um mamífero roedor que não sente dor, é resistente a tumores e vive de forma muito similar às formigas, em colônias com uma rainha sob a terra, em ambientes com baixa concentração de oxigênio, graças à sua capacidade de metabolizar a frutose, assim como as plantas o fazem.
Um certo rato-toupeira-nu decidiu percorrer a hélice em R^3 parametrizada por
gamma:(0, 34) R^3
t mapsto(2464 cos t, 2464 sin t, 1232 t^2)
A distância percorrida pelo rato-toupeira-nu é da forma a+b ln (2) para certos números inteiros a, b. Qual o valor de a+b?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um rato-toupeira-nu que está percorrendo uma hélice no espaço tridimensional, ou seja, em R^3. A hélice é definida pela função paramétrica:
gamma(t) = (2464 cos t, 2464 sin t, 1232 t^2)
para t no intervalo (0, 34). A pergunta quer saber qual é a distância total que o rato percorre ao seguir essa hélice, que é expressa na forma a + b ln(2), onde a e b são números inteiros. Nosso objetivo final é encontrar o valor de a + b.
Para resolver isso, vamos calcular o comprimento da curva definida por gamma(t) nesse intervalo. Para isso, vamos usar a fórmula do comprimento de uma curva paramétrica no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula para calcular o comprimento de uma curva paramétrica gamma(t) = (x(t), y(t), z(t)) no intervalo [a, b]:
Comprimento = integrala^b raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 + (dzdt)^2 , dt
Isso significa que precisamos derivar cada componente da função gamma(t) em relação a t, elevar ao quadrado, somar tudo e tirar a raiz quadrada antes de integrar no intervalo dado.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de cada componente de gamma(t):
  1. Para x(t) = 2464 cos t:
dxdt = -2464 sin t
  1. Para y(t) = 2464 sin t:
dydt = 2464 cos t
  1. Para z(t) = 1232 t^2:
dzdt = 2464 t
Essas derivadas nos dão as taxas de variação de cada coordenada em relação a t.

Passo 4

Agora, vamos montar a expressão dentro da integral do comprimento:
raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 + (dzdt)^2 = raiz(-2464 sin t)^2 + (2464 cos t)^2 + (2464 t)^2
Simplificando cada termo:
(-2464 sin t)^2 = 2464^2 sin^2 t
(2464 cos t)^2 = 2464^2 cos^2 t
(2464 t)^2 = 2464^2 t^2
Portanto:
raiz2464^2 sin^2 t + 2464^2 cos^2 t + 2464^2 t^2 = raiz2464^2 (sin^2 t + cos^2 t) + 2464^2 t^2

Passo 5

Sabemos que sin^2 t + cos^2 t = 1 (essa é uma identidade trigonométrica básica). Então:
raiz2464^2 (1) + 2464^2 t^2 = raiz2464^2 (1 + t^2) = 2464 raiz1 + t^2
Agora, nossa integral para o comprimento da curva fica:
Comprimento = integral0^34 2464 raiz1 + t^2 , dt

Passo 6

Vamos resolver a integral:
integral raiz1 + t^2 , dt
Essa integral é uma forma padrão e a sua antiderivada é:
t2 raiz1 + t^2 + 12 sinh^-1(t) + C
No entanto, para facilitar, vamos usar a substituição:
integral raiz1 + t^2 , dt = t2 raiz1 + t^2 + 12 ln(t + raiz1 + t^2) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 34:
Comprimento = 2464 [ t2 raiz1 + t^2 + 12 ln(t + raiz1 + t^2) ]0^34
Vamos calcular cada parte:
Para t = 34:
342 raiz1 + (34)^2 + 12 ln(34 + raiz1 + (34)^2)
Para t = 0:
02 raiz1 + 0 + 12 ln(0 + raiz1 + 0) = 0 + 12 ln(1) = 0
Então, a expressão simplifica para:
Comprimento = 2464 [ 38 raiz2516 + 12 ln(34 + 54) ]

Passo 8

Vamos simplificar os termos:
  1. raiz2516 = 54
  2. 34 + 54 = 2
Substituindo na expressão:
Comprimento = 2464 [ 38 times 54 + 12 ln(2) ] = 2464 [ 1532 + 12 ln(2) ]

Passo 9

Multiplicando os termos:
2464 times 1532 = 2464 div 32 times 15 = 77 times 15 = 1155
2464 times 12 ln(2) = 1232 ln(2)
Então, a expressão final para o comprimento é:
1155 + 1232 ln(2)

Resposta

1155 + 1232
Portanto, a + b = 1155 + 1232 = 2387

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