Seja
a curva parametrizada por
. Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva
parametrizada por
para
entre 0 e 1. A gente precisa calcular a integral de linha
.
Aqui, estamos lidando com integrais de linha no espaço tridimensional, que envolvem integrar uma combinação de diferentes componentes (como
,
,
) ao longo de uma curva parametrizada. Para resolver isso, vamos precisar usar a parametrização da curva e substituir as variáveis na integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que, para cada valor de
entre 0 e 1, temos:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas de
,
e
em relação a
, porque elas vão nos dar
,
e
:
Passo 4
Agora vamos substituir
,
,
,
,
e
na integral original:
Passo 5
Vamos simplificar cada termo dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Passo 7
Agora, avaliamos essas expressões de
a
:
Resposta
Somando tudo junto:
Portanto, o valor da integral é 144.