Seja C a curva parametrizada por phi:(0,1) R^3, phi(t)=(t, t^2, t^3). Calcule integralC 48 y d x+140 z d y+144 x y d z

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva C parametrizada por phi(t) = (t, t^2, t^3) para t entre 0 e 1. A gente precisa calcular a integral de linha integralC 48 y , dx + 140 z , dy + 144 x y , dz.
Aqui, estamos lidando com integrais de linha no espaço tridimensional, que envolvem integrar uma combinação de diferentes componentes (como dx , dy , dz ) ao longo de uma curva parametrizada. Para resolver isso, vamos precisar usar a parametrização da curva e substituir as variáveis na integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa phi(t) = (t, t^2, t^3). Isso quer dizer que, para cada valor de t entre 0 e 1, temos:
x = t, y = t^2, z = t^3

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de x , y e z em relação a t , porque elas vão nos dar dx , dy e dz :
dxdt = 1 Rightarrow dx = 1 , dt
dydt = 2t Rightarrow dy = 2t , dt
dzdt = 3t^2 Rightarrow dz = 3t^2 , dt

Passo 4

Agora vamos substituir x , y , z , dx , dy e dz na integral original:
integralC 48 y , dx + 140 z , dy + 144 x y , dz = integral0^1 [48(t^2)(1,dt) + 140(t^3)(2t,dt) + 144(t)(t^2)(3t^2,dt)]

Passo 5

Vamos simplificar cada termo dentro da integral:
48(t^2)(1,dt) = 48 t^2 , dt
140(t^3)(2t,dt) = 280 t^4 , dt
144(t)(t^2)(3t^2,dt) = 432 t^5 , dt
Então, a integral fica:
integral0^1 (48 t^2 + 280 t^4 + 432 t^5) dt

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 48 t^2 , dt = 48 cdot t^33 = 16 t^3
integral 280 t^4 , dt = 280 cdot t^55 = 56 t^5
integral 432 t^5 , dt = 432 cdot t^66 = 72 t^6

Passo 7

Agora, avaliamos essas expressões de t = 0 a t = 1 :
16 (1)^3 - 16 (0)^3 = 16
56 (1)^5 - 56 (0)^5 = 56
72 (1)^6 - 72 (0)^6 = 72

Resposta

Somando tudo junto:
16 + 56 + 72 = 144
Portanto, o valor da integral é 144.

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