Uma capivara anda à margem de um rio, que está coberta de lama. A lama fica cada vez mais pegajosa quanto mais próxima do rio, de modo que a cada instante a velocidade da capivara é diretamente proporcional à sua distância ao rio.
Suponha (num modelo no plano R^2 ) que o rio se encontra sobre o eixo x e que a capivara quer ir do ponto A=(-68,68 raiz3) ao ponto B=(68,68 raiz3).
Suponha que a capivara leva 852 segundos para ir em linha reta de A até B. Se ela caminhar ao longo do menor arco de circunferência com centro na origem (0,0) e que passa por A e B, ela levará N cdot raiz3 cdot ln (3) segundos para algum inteiro N.
Qual o valor de N ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma capivara que quer ir do ponto $ A = (-68, 68\sqrt{3}) $ até o ponto $ B = (68, 68\sqrt{3}) $ ao longo da margem de um rio. A velocidade dela depende da distância em relação ao rio: quanto mais perto do rio, mais devagar ela vai.
Queremos descobrir o valor de $ N $ na expressão do tempo que a capivara leva para percorrer o menor arco de circunferência centrado na origem que passa por $ A $ e $ B $. Para isso, precisamos usar conhecimentos de geometria e cálculo, especificamente sobre movimentos ao longo de curvas e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação. O rio está sobre o eixo $ x $, e os pontos $ A $ e $ B $ estão acima do rio, no plano $ \mathbb{R}^2 $. Como a capivara quer caminhar ao longo do menor arco de circunferência centrado na origem que passa por $ A $ e $ B $, precisamos determinar o raio dessa circunferência.

Passo 3

Para encontrar o raio da circunferência, vamos usar a distância do ponto $ A $ à origem $ O = (0, 0) $. A fórmula da distância entre dois pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $ é:
A
Aplicando para o ponto $ A $ e a origem:
O = (0, 0)
Então, o raio da circunferência é $ r = 136 $.

Passo 4

Agora, vamos determinar o ângulo central correspondente ao arco entre $ A $ e $ B $. Como $ A $ e $ B $ estão simetricamente posicionados em relação ao eixo $ y $, o ângulo total será $ 120^\circ $ ou $ \frac{2\pi}{3} $ radianos.

Passo 5

Sabemos que o tempo que a capivara leva para percorrer o arco depende da sua velocidade, que é proporcional à distância ao rio (eixo $ x $). A velocidade $ v $ pode ser expressa como:
x
Onde $ k $ é a constante de proporcionalidade e $ y $ é a coordenada $ y $ da capivara.

Passo 6

Como a velocidade varia com a posição, precisamos integrar ao longo do arco para encontrar o tempo total. A expressão para o tempo $ T $ é:
T
Onde $ ds $ é um elemento infinitesimal de arco.

Passo 7

Parametrizando a circunferência, temos:
x = r cos theta y = r sin theta
Dessa forma, $ ds = r d\theta $ e $ v = k \cdot r \sin \theta $.
Substituindo na expressão do tempo:
ds = r dtheta
Sabemos que $ \int \frac{d\theta}{\sin \theta} = \ln \left| \tan \frac{\theta}{2} \right| + C $.

Passo 8

Os limites de integração para $ \theta $ vão de $ \frac{\pi}{3} $ a $ \frac{2\pi}{3} $, correspondendo aos pontos $ A $ e $ B $.
Portanto:
theta
Calculando as tangentes:
pi3
Substituindo:
2pi3

Passo 9

Agora, precisamos determinar a constante $ k $. Sabemos que se a capivara andasse em linha reta de $ A $ a $ B $, levaria 852 segundos. Vamos calcular a distância dessa linha reta.
A distância entre $ A $ e $ B $ é:
k
Então, a velocidade nessa trajetória reta é:
A
Mas como a velocidade é proporcional a $ y $, temos:
B
No ponto médio, $ y = 68\sqrt{3} $, então:
A

Passo 10

Substituindo $ k $ na expressão do tempo:
k
Sabemos que o tempo também é dado por $ N \cdot \sqrt{3} \cdot \ln (3) $. Igualando as duas expressões:
T = 1k ln 3 = 735 cdot ln 3
Cancelando $ \ln 3 $ dos dois lados:
N cdot raiz3 cdot ln (3)
Mas $ N $ deve ser um número inteiro. Parece que houve um erro nos cálculos anteriores. Vamos revisar o cálculo de $ k $.

Passo 11

Reavaliando o cálculo de $ k $:
Sabemos que na trajetória reta:
k
E na trajetória circular:
vreta = 136852 = 17106.5
Como a velocidade na trajetória reta corresponde à média da velocidade ao longo da trajetória circular, podemos igualar:
v = k cdot y = k cdot 68raiz3
Resolvendo para $ k $:
17106.5 = k cdot 68raiz31

Passo 12

Substituindo $ k $ na expressão do tempo:
k
Comparando com a expressão dada no problema:
T = 1k ln 3 = 426raiz3 cdot ln 3
Então:
T = N cdot raiz3 cdot ln 3
Cancelando $ \sqrt{3} \cdot \ln 3 $ dos dois lados:
426raiz3 cdot ln 3 = N cdot raiz3 cdot ln 3

Resposta

O valor de $ N $ é 426.

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