Uma capivara anda à margem de um rio, que está coberta de lama. A lama fica cada vez mais pegajosa quanto mais próxima do rio, de modo que a cada instante a velocidade da capivara é diretamente proporcional à sua distância ao rio.
Suponha (num modelo no plano
) que o rio se encontra sobre o eixo
e que a capivara quer ir do ponto
ao ponto
.
Suponha que a capivara leva 852 segundos para ir em linha reta de
até
. Se ela caminhar ao longo do menor arco de circunferência com centro na origem
e que passa por
e
, ela levará
segundos para algum inteiro
.
Qual o valor de
?
Suponha (num modelo no plano
Suponha que a capivara leva 852 segundos para ir em linha reta de
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma capivara que quer ir do ponto $ A = (-68, 68\sqrt{3}) $ até o ponto $ B = (68, 68\sqrt{3}) $ ao longo da margem de um rio. A velocidade dela depende da distância em relação ao rio: quanto mais perto do rio, mais devagar ela vai.
Queremos descobrir o valor de $ N $ na expressão do tempo que a capivara leva para percorrer o menor arco de circunferência centrado na origem que passa por $ A $ e $ B $. Para isso, precisamos usar conhecimentos de geometria e cálculo, especificamente sobre movimentos ao longo de curvas e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a situação. O rio está sobre o eixo $ x $, e os pontos $ A $ e $ B $ estão acima do rio, no plano $ \mathbb{R}^2 $. Como a capivara quer caminhar ao longo do menor arco de circunferência centrado na origem que passa por $ A $ e $ B $, precisamos determinar o raio dessa circunferência.
Passo 3
Para encontrar o raio da circunferência, vamos usar a distância do ponto $ A $ à origem $ O = (0, 0) $. A fórmula da distância entre dois pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $ é:
Aplicando para o ponto $ A $ e a origem:
Então, o raio da circunferência é $ r = 136 $.
Passo 4
Agora, vamos determinar o ângulo central correspondente ao arco entre $ A $ e $ B $. Como $ A $ e $ B $ estão simetricamente posicionados em relação ao eixo $ y $, o ângulo total será $ 120^\circ $ ou $ \frac{2\pi}{3} $ radianos.
Passo 5
Sabemos que o tempo que a capivara leva para percorrer o arco depende da sua velocidade, que é proporcional à distância ao rio (eixo $ x $). A velocidade $ v $ pode ser expressa como:
Onde $ k $ é a constante de proporcionalidade e $ y $ é a coordenada $ y $ da capivara.
Passo 6
Como a velocidade varia com a posição, precisamos integrar ao longo do arco para encontrar o tempo total. A expressão para o tempo $ T $ é:
Onde $ ds $ é um elemento infinitesimal de arco.
Passo 7
Parametrizando a circunferência, temos:
Dessa forma, $ ds = r d\theta $ e $ v = k \cdot r \sin \theta $.
Substituindo na expressão do tempo:
Sabemos que $ \int \frac{d\theta}{\sin \theta} = \ln \left| \tan \frac{\theta}{2} \right| + C $.
Passo 8
Os limites de integração para $ \theta $ vão de $ \frac{\pi}{3} $ a $ \frac{2\pi}{3} $, correspondendo aos pontos $ A $ e $ B $.
Portanto:
Calculando as tangentes:
Substituindo:
Passo 9
Agora, precisamos determinar a constante $ k $. Sabemos que se a capivara andasse em linha reta de $ A $ a $ B $, levaria 852 segundos. Vamos calcular a distância dessa linha reta.
A distância entre $ A $ e $ B $ é:
Então, a velocidade nessa trajetória reta é:
Mas como a velocidade é proporcional a $ y $, temos:
No ponto médio, $ y = 68\sqrt{3} $, então:
Passo 10
Substituindo $ k $ na expressão do tempo:
Sabemos que o tempo também é dado por $ N \cdot \sqrt{3} \cdot \ln (3) $. Igualando as duas expressões:
Cancelando $ \ln 3 $ dos dois lados:
Mas $ N $ deve ser um número inteiro. Parece que houve um erro nos cálculos anteriores. Vamos revisar o cálculo de $ k $.
Passo 11
Reavaliando o cálculo de $ k $:
Sabemos que na trajetória reta:
E na trajetória circular:
Como a velocidade na trajetória reta corresponde à média da velocidade ao longo da trajetória circular, podemos igualar:
Resolvendo para $ k $:
Passo 12
Substituindo $ k $ na expressão do tempo:
Comparando com a expressão dada no problema:
Então:
Cancelando $ \sqrt{3} \cdot \ln 3 $ dos dois lados:
Resposta
O valor de $ N $ é 426.