A característica de um anel R é o menor natural positivo n tal que n \cdot a=0 para todo a \in R. Se tal número não existe, dizemos que R tem característica zero.
(a) Mostre que a característica de \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C} é zero.
(b) Mostre que a característica de \mathbb{Z}_{m} é m.
(c) Mostre que a característica de \mathbb{Z}_{m} \times \mathbb{Z}_{n} é mmc (m, n). Dica: Mostre que k(\overline{1}, \overline{1})=(\overline{0}, \overline{0}) sse k é um múltiplo de m e \mathbf{n}.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações ele dá.
O enunciado define: a característica de um anel R é o menor natural positivo n tal que n\cdot a=0 para todo a\in R. Se tal n não existe, dizemos que R tem característica zero.
Perguntas:
(a) Mostrar que a característica de \mathbb{Z},\\ \mathbb{Q},\\ \mathbb{R},\\ \mathbb{C} é zero.
(b) Mostrar que a característica de \mathbb{Z}_{m} é m.
(c) Mostrar que a característica de \mathbb{Z}_{m}\times\mathbb{Z}_{n} é \mathrm{mmc}(m,n). Dica dada: mostrar que k(\overline{1},\overline{1})=(\overline{0},\overline{0}) sse k é múltiplo de m e de n.
Passo 2
Uma observação-chave (ferramenta que vamos usar várias vezes): em qualquer anel com unidade 1 (isto é, um elemento 1 tal que 1\cdot a=a para todo a), a característica do anel é exatamente a ordem aditiva do elemento 1. Vou provar isso porque é muito útil e simples.
Prova do fato: suponha que existe n>0 tal que n\cdot 1=0. Aqui n\cdot 1 significa 1+1+\cdots+1 (n somas). Para qualquer a\in R temos
Logo, se n\cdot 1=0 então n anula todos os elementos do anel, isto é, é um candidato à característica. Por outro lado, se n anula todos os elementos então em particular anula 1, isto é n\cdot 1=0. Portanto o menor n>0 com n\cdot 1=0 é exatamente a característica do anel (quando o anel tem unidade). Conclusão: para anéis com 1 basta estudar a ordem aditiva de 1.
Passo 3
Aplicando a observação ao anel \mathbb{Z}.
Em \mathbb{Z} o elemento 1 é o inteiro 1. Para qualquer n\in\mathbb{N} temos n\cdot 1 = n (o inteiro n). Esse inteiro só é 0 se n=0. Logo não existe n>0 tal que n\cdot 1=0 em \mathbb{Z}.
Pelo passo anterior, isso significa que a característica de \mathbb{Z} não é um inteiro positivo; portanto a característica de \mathbb{Z} é zero.
Comentário didático: pensar em n\cdot 1 em \mathbb{Z} é só somar 1n vezes — claro que nunca vai virar 0 se n>0.
Passo 4
Aplicando ao anel \mathbb{Q}.
Em \mathbb{Q} o 1 é o racional 1. Para n\in\mathbb{N} temos n\cdot 1 = n visto como número racional. Esse racional só é 0 se n=0. Logo não existe n>0 com n\cdot 1=0 em \mathbb{Q}.
Pelo passo 2, a característica de \mathbb{Q} é zero.
Outra forma de ver (intuitiva): \mathbb{Z} se embute em \mathbb{Q} via k\mapsto k\cdot 1, então se \mathbb{Q} tivesse característica positiva isso forçaria \mathbb{Z} a ter também, o que não acontece.
Passo 5
Aplicando ao anel \mathbb{R}.
Mesma lógica: em \mathbb{R} temos n\cdot 1=n como real; isso não é zero para n>0. Portanto não existe n>0 com n\cdot 1=0.
Logo a característica de \mathbb{R} é zero.
Passo 6
Aplicando ao anel \mathbb{C}.
Em \mathbb{C} novamente n\cdot 1=n (número complexo real n); para n>0 isso não é zero. Assim não existe n>0 com n\cdot 1=0.
Portanto a característica de \mathbb{C} é zero.
Comentário prático: \mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C} e todos esses anéis contêm cópias dos inteiros; como \mathbb{Z} tem característica zero, os demais também têm.
Passo 7
Agora a parte (b): característia de \mathbb{Z}_m.
Lembrete: \mathbb{Z}_m é o anel dos restos módulo m. Denoto \overline{a} a classe de a módulo m. O elemento identidade aditiva é \overline{0} e a unidade multiplicativa é \overline{1}.
Vamos aplicar o fato do Passo 2: a característica é a ordem aditiva de \overline{1}.
Passo 8
Provar que a ordem aditiva de \overline{1} em \mathbb{Z}_m é m.
Calcule m\cdot\overline{1} = \underbrace{\overline{1}+\cdots+\overline{1}}_{m\\ \text{vezes}} = \overline{m} = \overline{0}, porque m\equiv 0\pmod m. Assim existe um inteiro positivo (ao menos m) que anula \overline{1}.
Suponha que exista k>0 com k\cdot\overline{1}=\overline{0}. Isso significa \overline{k}=\overline{0}, ou seja, m divide k. Logo qualquer tal k é múltiplo de m, em particular o menor k>0 que funciona é exatamente m.
Portanto a ordem aditiva de \overline{1} é m e, pelo Passo 2, a característica de \mathbb{Z}_m é m.
Dica prática para prova: pensar que em \mathbb{Z}_m somar \overline{1}k vezes dá \overline{k}; isso é zero só quando k é múltiplo de m.
Passo 9
Parte (c): característica de \mathbb{Z}_m\times\mathbb{Z}_n.
Primeiro nota: \mathbb{Z}_m\times\mathbb{Z}_n é um anel com unidade (\overline{1},\overline{1}). Pelo Passo 2 a característica é a ordem aditiva de (\overline{1},\overline{1}), isto é, o menor k>0 tal que
Portanto (\overline{k},\overline{k})=(\overline{0},\overline{0}) sse \overline{k}=\overline{0} em \mathbb{Z}_m e \overline{k}=\overline{0} em \mathbb{Z}_n. Isso equivale a:
m divide k, e
n divide k.
Conclusão: k(\overline{1},\overline{1})=(\overline{0},\overline{0}) sse k é múltiplo simultâneo de m e n.
Isto é exatamente a dica do enunciado.
Passo 11
Concluir que a característica é \mathrm{mmc}(m,n).
Entre todos os inteiros positivos que são múltiplos de m e de n, o menor é o mínimo múltiplo comum, isto é \mathrm{mmc}(m,n).
Pelo Passo 10, os k>0 que anulam (\overline{1},\overline{1}) são precisamente os múltiplos de m e de n. Assim o menor k>0 que anula (\overline{1},\overline{1}) é k=\mathrm{mmc}(m,n).
Pelo Passo 2, a característica de \mathbb{Z}_m\times\mathbb{Z}_n é \mathrm{mmc}(m,n).