Seja
. Defina
e
. Mostre que
é ideal à esquerda de
e que
é ideal à direita de
.
Passo 1
O enunciado dá um anel e um elemento e pede para mostrar duas propriedades. Mais precisamente:
- Tem-se um anel
e um elemento . - Define-se
. - Define-se
.
O que o problema pede:
- Mostrar que
é um ideal à esquerda de . - Mostrar que
é um ideal à direita de .
Todas as informações relevantes do enunciado estão listadas acima; a resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Lembrando as definições (úteis para provar a propriedade): um subconjunto
é um ideal à esquerda de
se e somente se
-
é subgrupo do grupo aditivo de (ou seja, , fechado em soma e em inversos aditivos); - para todo
e todo vale (fechamento por multiplicação à esquerda).
Um subconjunto
é um ideal à direita se e somente se
-
é subgrupo aditivo de ; - para todo
e todo vale (fechamento por multiplicação à direita).
Vou usar estas condições para provar os dois itens. Nas contas abaixo uso as propriedades do anel: associatividade da multiplicação e distributividade da multiplicação sobre a adição; quando eu afirmar algo como
significa que o produto no anel é o elemento zero do anel.
Passo 3
Prova de que
é ideal à esquerda.
- Não vazio / contém zero: observe que
e
então
.
- Fechamento por soma: sejam
. Por definição e . Usando distributividade,
Portanto
.
- Fechamento por inverso aditivo: seja
. Então . Multiplicando por à esquerda (ou usando propriedades usuais dos inversos aditivos),
Logo
.
Dos itens 1–3 concluímos que
é subgrupo aditivo de
.
- Fechamento por multiplicação à esquerda: tomem
e . Então . Pela associatividade,
Portanto
para todo
. Isso mostra o fechamento necessário para ser ideal à esquerda.
Juntando subgrupo aditivo e fechamento por multiplicação à esquerda,
é um ideal à esquerda de
.
Passo 4
Prova de que
é ideal à direita.
- Não vazio / contém zero: como antes,
e
então
.
- Fechamento por soma: sejam
. Então e . Usando distributividade à direita,
Logo
.
- Fechamento por inverso aditivo: seja
. Então . Temos
portanto
.
Assim
é subgrupo aditivo.
- Fechamento por multiplicação à direita: tomem
e . Como , pela associatividade
Logo
para todo
. Isso demonstra o fechamento por multiplicação à direita.
Portanto
é um ideal à direita de
.
Passo 5
Comentário final e observações úteis para a prova: as provas dos dois casos são análogas e usam apenas as propriedades básicas do anel (distributividade e associatividade). Não foi usada comutatividade em nenhum passo, por isso as conclusões valem tanto em anéis comutativos quanto em anéis não comutativos. Na prova de exame, escreva os três itens (contém zero, fechado em soma, fechado em inverso) para a parte aditiva e mostre o fechamento por multiplicação do lado apropriado (esquerda para
, direita para
). Você já tem tudo que precisa para repetir esse raciocínio com qualquer elemento
.