No Exercício 1, ao integrar a equação das forças que atuam na direção
, obtém-se uma equação importante do escoamento no interior do rotor. (a) qual é essa equação? (b) interprete os termos dessa equação.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas relativas ao resultado de “integrar a equação das forças que atuam na direção
” para o escoamento dentro do rotor:
(a) identificar qual é a equação obtida após essa integração;
(b) interpretar fisicamente cada termo dessa equação.
(a) identificar qual é a equação obtida após essa integração;
(b) interpretar fisicamente cada termo dessa equação.
Informações explícitas que temos do enunciado (úteis para resolver):
- A integração foi feita sobre a equação das forças na direção
(a direção aqui refere-se à direção tangencial/circunferencial do escoamento dentro do rotor — isto é o sentido em que as lâminas impõem aceleração tangencial ao fluido). - O objetivo é achar a equação que descreve o efeito do rotor sobre a energia/velocidade tangencial do fluido e interpretar os termos resultantes.
Passo 2
Vamos começar explicando as quantidades físicas envolvidas (isso ajuda a entender a equação final).
Definições e notação (cada símbolo explicado):
Definições e notação (cada símbolo explicado):
-
: vazão mássica do fluido que atravessa o rotor (kg/s). É a massa por unidade de tempo que passa pelo controle. -
: raio (m). Em turbomáquinas, os pontos de entrada e saída estão em raios que podem ser diferentes; o produto com a componente tangencial da velocidade aparece nas contas de momento angular. -
: velocidade periférica das lâminas em um determinado raio, dada por , onde é a velocidade angular do rotor (rad/s). Essa é a velocidade com que a palheta “arrasta” o fluido. -
: velocidade absoluta do fluido (m/s). -
: componente tangencial (circunferencial) da velocidade absoluta . É a componente que interessa para o torque e para a troca de energia com o rotor. -
(ou ): trabalho específico fornecido ao fluido (trabalho por unidade de massa), também comumente chamado de energia específica trocada entre rotor e fluido (J/kg). -
: torque aplicado pelo rotor sobre o fluido (N·m).
Comentário físico rápido: o rotor aplica uma força tangencial ao fluido, que resulta em um torque
. Pelo teorema do momento (equivalente do teorema de impulso para o momento angular), esse torque é responsável pela variação do momento angular transportado pelo escoamento; relacionando torque, vazão mássica e variação da componente tangencial da velocidade chegamos à equação procurada.
Passo 3
Escrever o balanço angular/momento para um volume de controle que corta o escoamento antes e depois do rotor (seção 1 → seção 2).
Princípio: em regime estacionário, a soma dos momentos (torques) exercidos sobre o fluido dentro do controle é igual ao fluxo mássico do momento angular que entra/ sai. Matematicamente:
Princípio: em regime estacionário, a soma dos momentos (torques) exercidos sobre o fluido dentro do controle é igual ao fluxo mássico do momento angular que entra/ sai. Matematicamente:
Explicação dessa fórmula linha a linha:
- A quantidade
é o momento angular por unidade de massa (momento angular específico) transportado pelo fluido em uma dada seção (é o produto do raio pelo componente angular da velocidade). - Multiplicando por
obtemos a taxa de transporte de momento angular (momento angular por unidade de tempo). - A diferença entre saída e entrada dá a taxa de variação de momento angular que deve ser igual ao torque fornecido pelo rotor ao fluido.
Passo 4
Transformar a relação de torque em trabalho específico (energia por unidade de massa).
Relação entre torque , potência
e trabalho específico
:
Relação entre torque
- Potência fornecida ao fluido:
. - Trabalho específico (energia por unidade de massa) é
.
Substituindo
da equação do passo anterior:
Como
, temos
e
. Substituindo:
Essa é a forma clássica da equação de Euler para turbomáquinas: o trabalho específico transferido entre rotor e fluido é a diferença entre os produtos da velocidade periférica pela componente tangencial da velocidade absoluta nas duas seções.
Passo 5
Aprofundando a interpretação de cada termo (aqui ensino como usar/entender a equação na prova):
-
Lado esquerdo:
é o trabalho por unidade de massa fornecido ao fluido. Positive significa que o rotor está entregando energia ao fluido (compressor ou bomba), significa que o fluido está entregando energia ao rotor (turbina). -
Primeiro termo do lado direito:
-
é a velocidade periférica da pá na seção de saída (raio ). -
é a componente tangencial da velocidade absoluta do fluido na saída. - O produto
representa a contribuição ao trabalho devido à “rotação” conjunta da pá e do fluido na saída; fisicamente é a taxa com que o fluido carrega momento angular na saída, convertida em energia pelo fato de a pá ter velocidade .
-
-
Segundo termo do lado direito:
- Mesma interpretação para a seção de entrada: é a contribuição do momento angular que o fluido traz entrando no rotor.
-
A diferença
é, portanto, a variação do “produto velocidade periférica × componente tangencial” entre saída e entrada: essa variação é exatamente a energia por massa transferida pelo rotor.
Passo 6
Observações práticas e dicas para prova (como aplicar a fórmula facilmente):
- Se o rotor tem raio praticamente constante entre entrada e saída (pequena diferença entre
e ), frequentemente . A equação reduz-se a : o trabalho por massa é a velocidade periférica multiplicada pela variação da componente tangencial da velocidade absoluta. - Atenção ao sinal de
: escolha uma convenção (por exemplo, sentido positivo no sentido de rotação das palhetas) e mantenha-a. Se o fluido sai com maior que no mesmo sentido, então o rotor forneceu energia. - Para problemas numéricos: calcule primeiro
(ou use com rotações por segundo), encontre nas seções dada a decomposição das velocidades absoluta/relativa, e aplique diretamente .
Passo 7
Exemplo rápido ilustrativo (pequeno check para fixar):
- Suponha
(mesma periferia), (escoamento entrando sem componente tangencial) e (escoamento sai com componente tangencial no sentido positivo). Então
Interpretação: cada quilograma de fluido ganha energia
(J/kg) devido ao giro do rotor. Isso mostra de modo direto que quanto maior a velocidade periférica
e quanto maior a aceleração tangencial imposta ao fluido (
), maior o trabalho transferido.
Resposta
(a)
(b) O termo
é o trabalho específico (energia por unidade de massa) transferido entre rotor e fluido;
é a velocidade periférica das palhetas em cada seção (
) e
é a componente tangencial da velocidade absoluta do fluido em cada seção. A diferença
representa a variação do transporte de momento angular pelo escoamento e equivale à energia trocada entre rotor e fluido.