No Exercício 1, ao integrar a equação das forças que atuam na direção s, obtém-se uma equação importante do escoamento no interior do rotor. (a) qual é essa equação? (b) interprete os termos dessa equação.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas relativas ao resultado de “integrar a equação das forças que atuam na direção s” para o escoamento dentro do rotor:
(a) identificar qual é a equação obtida após essa integração;
(b) interpretar fisicamente cada termo dessa equação.
Informações explícitas que temos do enunciado (úteis para resolver):
  • A integração foi feita sobre a equação das forças na direção s (a direção s aqui refere-se à direção tangencial/circunferencial do escoamento dentro do rotor — isto é o sentido em que as lâminas impõem aceleração tangencial ao fluido).
  • O objetivo é achar a equação que descreve o efeito do rotor sobre a energia/velocidade tangencial do fluido e interpretar os termos resultantes.

Passo 2

Vamos começar explicando as quantidades físicas envolvidas (isso ajuda a entender a equação final).
Definições e notação (cada símbolo explicado):
  • \dot{m}: vazão mássica do fluido que atravessa o rotor (kg/s). É a massa por unidade de tempo que passa pelo controle.
  • r: raio (m). Em turbomáquinas, os pontos de entrada e saída estão em raios que podem ser diferentes; o produto r com a componente tangencial da velocidade aparece nas contas de momento angular.
  • u: velocidade periférica das lâminas em um determinado raio, dada por u = \omega r, onde \omega é a velocidade angular do rotor (rad/s). Essa é a velocidade com que a palheta “arrasta” o fluido.
  • c: velocidade absoluta do fluido (m/s).
  • c_\theta: componente tangencial (circunferencial) da velocidade absoluta c. É a componente que interessa para o torque e para a troca de energia com o rotor.
  • w (ou w_{\mathrm{espec}}): trabalho específico fornecido ao fluido (trabalho por unidade de massa), também comumente chamado de energia específica trocada entre rotor e fluido (J/kg).
  • \tau: torque aplicado pelo rotor sobre o fluido (N·m).
Comentário físico rápido: o rotor aplica uma força tangencial ao fluido, que resulta em um torque \tau. Pelo teorema do momento (equivalente do teorema de impulso para o momento angular), esse torque é responsável pela variação do momento angular transportado pelo escoamento; relacionando torque, vazão mássica e variação da componente tangencial da velocidade chegamos à equação procurada.

Passo 3

Escrever o balanço angular/momento para um volume de controle que corta o escoamento antes e depois do rotor (seção 1 → seção 2).
Princípio: em regime estacionário, a soma dos momentos (torques) exercidos sobre o fluido dentro do controle é igual ao fluxo mássico do momento angular que entra/ sai. Matematicamente:
\tau = \dot{m}\bigl(r_2 c_{\theta 2} - r_1 c_{\theta 1}\bigr).
Explicação dessa fórmula linha a linha:
  • A quantidade r c_\theta é o momento angular por unidade de massa (momento angular específico) transportado pelo fluido em uma dada seção (é o produto do raio pelo componente angular da velocidade).
  • Multiplicando por \dot m obtemos a taxa de transporte de momento angular (momento angular por unidade de tempo).
  • A diferença entre saída e entrada dá a taxa de variação de momento angular que deve ser igual ao torque fornecido pelo rotor ao fluido.

Passo 4

Transformar a relação de torque em trabalho específico (energia por unidade de massa).
Relação entre torque \tau, potência P e trabalho específico w:
  • Potência fornecida ao fluido: P = \tau \omega.
  • Trabalho específico (energia por unidade de massa) é w = \dfrac{P}{\dot m} = \dfrac{\tau \omega}{\dot m}.
Substituindo \tau da equação do passo anterior:
w = \frac{\tau \omega}{\dot m} = \omega \bigl(r_2 c_{\theta 2} - r_1 c_{\theta 1}\bigr).
Como u = \omega r, temos u_1 = \omega r_1 e u_2 = \omega r_2. Substituindo:
w = u_2 c_{\theta 2} - u_1 c_{\theta 1}.
Essa é a forma clássica da equação de Euler para turbomáquinas: o trabalho específico transferido entre rotor e fluido é a diferença entre os produtos da velocidade periférica pela componente tangencial da velocidade absoluta nas duas seções.

Passo 5

Aprofundando a interpretação de cada termo (aqui ensino como usar/entender a equação na prova):
  • Lado esquerdo: w é o trabalho por unidade de massa fornecido ao fluido. Positive w>0 significa que o rotor está entregando energia ao fluido (compressor ou bomba), w<0 significa que o fluido está entregando energia ao rotor (turbina).
  • Primeiro termo do lado direito: u_2 c_{\theta 2}
    • u_2 é a velocidade periférica da pá na seção de saída (raio r_2).
    • c_{\theta 2} é a componente tangencial da velocidade absoluta do fluido na saída.
    • O produto u_2 c_{\theta 2} representa a contribuição ao trabalho devido à “rotação” conjunta da pá e do fluido na saída; fisicamente é a taxa com que o fluido carrega momento angular na saída, convertida em energia pelo fato de a pá ter velocidade u_2.
  • Segundo termo do lado direito: u_1 c_{\theta 1}
    • Mesma interpretação para a seção de entrada: é a contribuição do momento angular que o fluido traz entrando no rotor.
  • A diferença u_2 c_{\theta 2} - u_1 c_{\theta 1} é, portanto, a variação do “produto velocidade periférica × componente tangencial” entre saída e entrada: essa variação é exatamente a energia por massa transferida pelo rotor.

Passo 6

Observações práticas e dicas para prova (como aplicar a fórmula facilmente):
  • Se o rotor tem raio praticamente constante entre entrada e saída (pequena diferença entre r_1 e r_2), frequentemente u_1\approx u_2. A equação reduz-se a w \approx u\,(c_{\theta2}-c_{\theta1}): o trabalho por massa é a velocidade periférica multiplicada pela variação da componente tangencial da velocidade absoluta.
  • Atenção ao sinal de c_\theta: escolha uma convenção (por exemplo, sentido positivo no sentido de rotação das palhetas) e mantenha-a. Se o fluido sai com c_{\theta2} maior que c_{\theta1} no mesmo sentido, então o rotor forneceu energia.
  • Para problemas numéricos: calcule primeiro u = \omega r (ou use u=r\cdot 2\pi n com n rotações por segundo), encontre c_{\theta} nas seções dada a decomposição das velocidades absoluta/relativa, e aplique diretamente w = u_2 c_{\theta 2} - u_1 c_{\theta 1}.

Passo 7

Exemplo rápido ilustrativo (pequeno check para fixar):
  • Suponha u_1 = u_2 = u (mesma periferia), c_{\theta1}=0 (escoamento entrando sem componente tangencial) e c_{\theta2}=v (escoamento sai com componente tangencial v no sentido positivo). Então
w = u\,v.
Interpretação: cada quilograma de fluido ganha energia u v (J/kg) devido ao giro do rotor. Isso mostra de modo direto que quanto maior a velocidade periférica u e quanto maior a aceleração tangencial imposta ao fluido ( v), maior o trabalho transferido.

Resposta

(a) w = u_2 c_{\theta 2} - u_1 c_{\theta 1}.
(b) O termo w é o trabalho específico (energia por unidade de massa) transferido entre rotor e fluido; u_i é a velocidade periférica das palhetas em cada seção ( u_i=\omega r_i) e c_{\theta i} é a componente tangencial da velocidade absoluta do fluido em cada seção. A diferença u_2 c_{\theta 2}-u_1 c_{\theta 1} representa a variação do transporte de momento angular pelo escoamento e equivale à energia trocada entre rotor e fluido.

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