Encontre a matriz modal do operador linear:
T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(3 x-y+z,-x+5 y+z, x-y+3 z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar a matriz modal de um operador linear T que vai de R^3 para R^3. Basicamente, uma matriz modal é uma matriz diagonal que representa o operador quando usamos uma base formada por autovetores. Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz associada ao operador linear T. O operador está definido por:
T(x, y, z) = (3x - y + z, -x + 5y + z, x - y + 3z)
Então, a matriz A que representa T é:
A = 3 & -1 & 1 -1 & 5 & 1 1 & -1 & 3

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os autovalores de A. Para isso, resolvemos a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade de ordem 3 e lambda representa os autovalores. Então, montamos:
A - lambda I = 3 - lambda & -1 & 1 -1 & 5 - lambda & 1 1 & -1 & 3 - lambda
Calculamos o determinante dessa matriz e igualamos a zero.

Passo 4

Calculando o determinante:
det(A - lambda I) = (3-lambda)[(5-lambda)(3-lambda) - (1)(-1)] - (-1)[(-1)(3-lambda) - (1)(1)] + 1[(-1)(-1) - (5-lambda)(1)]
Simplificando:
(3-lambda)[(5-lambda)(3-lambda) + 1] + (1)[(-1)(3-lambda) - 1] + 1[1 - (5-lambda)]
Continuamos simplificando até obter um polinômio em lambda:
(3-lambda)(lambda^2 - 8lambda + 16) = 0
Portanto, os autovalores são lambda = 3 (com multiplicidade 1) e lambda = 4 (com multiplicidade 2).

Passo 5

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada lambda.
Para lambda = 3:
Resolvemos (A - 3I)v = 0:
0 & -1 & 1 -1 & 2 & 1 1 & -1 & 0 v = 0
Resolvendo esse sistema, encontramos que um autovetor é v1 = 1 1 1 .
Para lambda = 4:
Resolvemos (A - 4I)v = 0:
-1 & -1 & 1 -1 & 1 & 1 1 & -1 & -1 v = 0
Resolvendo esse sistema, encontramos dois autovetores lineares independentes, por exemplo:
v2 = 1 0 1 , v3 = 0 1 1

Passo 6

Com os autovalores e os autovetores em mãos, podemos formar a matriz modal P cujas colunas são os autovetores:
P = 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 1 & 1 & 1
E a matriz diagonal D que contém os autovalores correspondentes:
D = 3 & 0 & 0 0 & 4 & 0 0 & 0 & 4

Resposta

A matriz modal do operador linear T é:
D = 3 & 0 & 0 0 & 4 & 0 0 & 0 & 4

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