Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar a matriz modal de um operador linear que vai de para . Basicamente, uma matriz modal é uma matriz diagonal que representa o operador quando usamos uma base formada por autovetores. Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz associada ao operador linear . O operador está definido por:
Então, a matriz que representa é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os autovalores de A. Para isso, resolvemos a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade de ordem 3 e lambda representa os autovalores. Então, montamos: