Encontre o raio espectral de cada matriz e analise se os vetores característicos são ortogonais ou ortonormais, mostre sua resolução em detalhes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio espectral da matriz dada e verificar se os vetores característicos (também conhecidos como autovetores) são ortogonais ou ortonormais. Para isso, vamos precisar trabalhar com valores próprios e vetores próprios de uma matriz. Vamos passo a passo para não ficar complicado!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os valores próprios da matriz. Valores próprios são números que, quando multiplicados pela matriz, não mudam a direção dos vetores, apenas escalam. Matemáticamente, para encontrar um valor próprio lambda , precisamos resolver a equação:
Podemos multiplicar todos os termos por -1 para simplificar:
lambda^3 - 11lambda^2 + 39lambda - 45 = 0
Vamos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema do Racional. As possíveis raízes são os divisores de 45 sobre os divisores de 1, ou seja, lambda = pm1, pm3, pm5, pm9, pm15, pm45 .
Então, lambda = 3 é uma raiz. Podemos fatorar lambda - 3 da equação:
(lambda - 3)(lambda^2 - 8lambda + 15) = 0
Agora, resolvemos a equação quadrática:
lambda^2 - 8lambda + 15 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 8 pm raiz64 - 602 = 8 pm 22
Então, as soluções são:
lambda = 5 e lambda = 3
Portanto, os valores próprios são lambda = 3 (com multiplicidade 2) e lambda = 5 .
Passo 5
Agora que temos os valores próprios, vamos determinar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio. Para cada , resolvemos , onde é o vetor próprio.
Para :
Resolvendo o sistema:
Essas equações são equivalentes, então podemos escolher , então . Para simplificar, vamos escolher :
Para :
Resolvendo o sistema:
A primeira equação nos dá . Substituindo na terceira equação:
Escolhendo :
Portanto, o vetor próprio é:
]
Passo 6
Agora que temos os vetores próprios, vamos analisar se eles são ortogonais ou ortonormais.
Dois vetores são ortogonais se o produto interno (ou escalar) entre eles for zero:
u cdot v = 0
E são ortonormais se, além de serem ortogonais, cada vetor tiver norma 1.
Vamos considerar os vetores próprios que encontramos:
v1 = -2 3 s (para lambda = 3 )
v2 = -1 1 -1 (para lambda = 5 )
Vamos calcular o produto interno:
v1 cdot v2 = (-2)(-1) + (3)(1) + (s)(-1) = 2 + 3 - s = 5 - s
Para que sejam ortogonais, precisaríamos que 5 - s = 0 , ou seja, s = 5 . Mas, no vetor próprio de lambda = 3 , s é um parâmetro livre, podendo ser qualquer valor. Portanto, não podemos garantir que os vetores são ortogonais.
Além disso, mesmo que escolhêssemos s = 5 , ainda precisaríamos verificar se cada vetor tem norma 1 para serem ortonormais, o que não é o caso aqui.
Resposta
O raio espectral da matriz é 5 , e os vetores característicos não são ortogonais nem ortonormais.