Considere o espaço vetorial
. Demonstre as seguintes propriedades:
Se
e
então
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que em um espaço vetorial
sobre um corpo
, se
e
, então
. Vamos usar as propriedades de espaço vetorial: existência de inversos aditivos em
, distributividade da multiplicação escalar e existência de inverso multiplicativo em
.
Passo 2
Partindo de
, somamos o inverso aditivo de
em ambos os lados para obter
Como
e pela distributividade escalar sobre a soma de escalares,
Passo 3
Suponha que
. Então, por pertencerem a um corpo, existe o inverso multiplicativo
. Multiplicando a equação
por
escalarmente, vem
logo
ou seja,
, o que contradiz a hipótese
. Logo,
não pode ser diferente de zero.
Passo 4
Concluímos que
. Portanto,
.
Resposta
Portanto,
.