Considere o espaço vetorial V. Demonstre as seguintes propriedades:
Se alpha u=beta u e u neq 0 então alpha=beta.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que em um espaço vetorial V sobre um corpo F, se alpha u = beta u e u neq 0, então alpha = beta. Vamos usar as propriedades de espaço vetorial: existência de inversos aditivos em V, distributividade da multiplicação escalar e existência de inverso multiplicativo em F.

Passo 2

Partindo de alpha u = beta u, somamos o inverso aditivo de beta u em ambos os lados para obter
alpha u + (-beta u) = beta u + (-beta u)
Como beta u + (-beta u) = 0 e pela distributividade escalar sobre a soma de escalares,
(alpha - beta)u = 0

Passo 3

Suponha que alpha - beta neq 0. Então, por pertencerem a um corpo, existe o inverso multiplicativo (alpha - beta)^-1. Multiplicando a equação (alpha - beta)u = 0 por (alpha - beta)^-1 escalarmente, vem
(alpha - beta)^-1l((alpha - beta)ur) = (alpha - beta)^-10
logo
1cdot u = 0,
ou seja, u = 0, o que contradiz a hipótese u neq 0. Logo, alpha - beta não pode ser diferente de zero.

Passo 4

Concluímos que alpha - beta = 0. Portanto, alpha = beta.

Resposta

Portanto, alpha = beta.

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