O carbono-14é um isótopo radioativo natural do elemento carbono presente em todos os organismos vivos. Enquanto um organismo permanece vivo a relação quantitativa entre o carbono14 e o carbono-12 permanece constante. O químico norte-americano Willard Libbs descobriu nos anos 50 que, a partir da morte de organismo, o carbono-14 se transforma em carbono-12 a uma taxa proporcional à quantidade de carbono-14 existente. O carbono-14 é, dentre os isótopos estáveis do carbono, aquele que possui a maior meia-vida: 5730 anos.
Em 1988, cientistas do Museu Britânico tiveram acesso ao corte de tecido de linho chamado de Santo Sudário e constataram que o tecido conservava ainda 92 % de sua quantidade original de carbono-14. Determine, a partir destes dados, a data em que o tecido foi confeccionado.*

Passo 1

O enunciado descreve um problema de datação por carbono-14, que segue decaimento exponencial. Enquanto o organismo vive, a relação ^14C/^12C é constante; após a morte, a quantidade de ^14C decai a uma taxa proporcional à quantidade presente. Sabemos que a meia-vida do carbono-14 é 5730 anos e que em 1988 restava 92% da quantidade original. Nosso objetivo é encontrar o tempo t decorrido desde a fabricação do tecido até 1988 e, em seguida, determinar o ano de confecção.

Passo 2

Modelamos a quantidade de carbono-14 remanescente por
N(t)=N0,e^-lambda t,
onde N0 é a quantidade inicial, lambda a constante de decaimento e t o tempo em anos. A meia-vida T1/2 satisfaz
e^-lambda T1/2=tfrac12 Longrightarrow lambda=ln2T1/2=ln25730

Passo 3

Como em 1988 restava 92% de N0, temos
N(t)N0=e^-lambda t=0,92
Tomando logaritmo,
-lambda t=ln(0,92) Longrightarrow t=-ln(0,92)lambda

Passo 4

Substituindo lambda=ln25730, obtemos
t=-ln(0,92)ln2/5730 =5730ln2,lnl(tfrac10,92r)
Numericamente,
ln(0,92)approx -0,08338, ln2approx 0,69315,
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tapprox57300,69315times0,08338 approx689 anos

Passo 5

Se já se passaram cerca de 689 anos em 1988, o tecido foi confeccionado aproximadamente em
1988-689approx1299

Resposta

O tecido foi confeccionado por volta do ano de 1299.

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