Resolva os seguintes problemas de Sturm-Liouville, ou seja, determine os autovalores e as autofunções do problema de contorno, nos seguintes casos:
;
Passo 1
O enunciado pede os autovalores
e as autofunções
do problema
com as condições de contorno
O conteúdo é um problema de Sturm–Liouville com termo de primeira derivada. Vamos usar uma substituição que elimina
e reduz a equação à forma clássica
.
Passo 2
Façamos a mudança de variável
Então
Passo 3
Substituindo em
obtemos
Agrupando termos dá
Passo 4
As condições em
viram em
:
Logo
satisfaz
Passo 5
Para
seja
. A solução geral é
De
segue
. De
segue
com
, logo
Passo 6
As autofunções de
são
Voltando a
:
onde
é constante de normalização.
Resposta
Os autovalores são
e as autofunções correspondentes (até constante) são