Resolva os seguintes problemas de Sturm-Liouville, ou seja, determine os autovalores e as autofunções do problema de contorno, nos seguintes casos:
y^prime prime+2 y^prime+(1+lambda) y=0 com y(0)=0=y(5);

Passo 1

O enunciado pede os autovalores lambda e as autofunções y(x) do problema
y''+2y'+(1+lambda)y=0,
com as condições de contorno
y(0)=0, y(5)=0
O conteúdo é um problema de Sturm–Liouville com termo de primeira derivada. Vamos usar uma substituição que elimina y' e reduz a equação à forma clássica u''+lambda u=0.

Passo 2

Façamos a mudança de variável
y(x)=e^-xu(x)
Então
y'=e^-x(u'-u), y''=e^-x(u''-2u'+u)

Passo 3

Substituindo em y''+2y'+(1+lambda)y=0 obtemos
e^-xl(u''-2u'+ur) +2e^-x(u'-u) +(1+lambda)e^-xu=0
Agrupando termos dá
e^-xl(u''+lambda ur)=0 Longrightarrow u''+lambda u=0

Passo 4

As condições em y viram em u:
y(0)=u(0)=0, y(5)=e^-5u(5)=0;Longrightarrow;u(5)=0
Logo u satisfaz
u'' + lambda u = 0, u(0)=0,;u(5)=0

Passo 5

Para lambda>0 seja lambda=k^2. A solução geral é
u(x)=Asin(kx)+Bcos(kx)
De u(0)=0 segue B=0. De u(5)=0 segue Asin(5k)=0 com Aneq0, logo
5k = npi, n=1,2,dots ;Longrightarrow; kn=npi5, ; lambdan = kn^2 = l(npi5r)^2

Passo 6

As autofunções de u são
un(x)=sin!l(npi5xr)
Voltando a y:
yn(x)=e^-xun(x) =Cn,e^-xsin!l(npi5xr),
onde Cn é constante de normalização.

Resposta

Os autovalores são
lambdan = l(npi5r)^2, n=1,2,dots
e as autofunções correspondentes (até constante) são
yn(x)=e^-xsin!l(npi5xr)

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