- Encontre uma solução periódica estacionária da equação diferencial
, onde
é a função de período 2 com
se
.
Passo 1
O enunciado pede a solução periódica estacionária (ou seja, a solução particular de regime permanente) da EDO
onde
é de período
e, no intervalo fundamental
,
Conteúdo: método da série de Fourier para forçamento periódico. Vamos (i) obter a série de Fourier de
com período
, e (ii) usar que, se
então uma solução particular periódica é
Passo 2
Calcular
,
e
. Pelo fato de
fora de
num período, as integrais vão de
a
.
Para
:
Passo 3
Fazendo integrações por partes (detalhes omitidos por brevidade), chega-se a
Observações: para
par,
dá
e
. Para
ímpar,
dá
e
.
Passo 4
Escrevendo a série de Fourier completa:
Logo a solução particular periódica é
Substituindo
: