1. Encontre uma solução periódica estacionária da equação diferencial x^prime prime+10 x=F(t), onde F(t) é a função de período 2 com F(t)=t-t^2 se 0<t<1.

Passo 1

O enunciado pede a solução periódica estacionária (ou seja, a solução particular de regime permanente) da EDO
x''+10,x=F(t),
onde F é de período T=2 e, no intervalo fundamental 0<t<1,
F(t)=t - t^2
Conteúdo: método da série de Fourier para forçamento periódico. Vamos (i) obter a série de Fourier de F(t) com período 2, e (ii) usar que, se
F(t)=a0+sumn=1^inftyl(ancos(npi t)+bnsin(npi t)r),
então uma solução particular periódica é
xp(t)=a010+sumn=1^inftyancos(npi t)+bnsin(npi t),10-(npi)^2,,

Passo 2

Calcular a0, an e bn. Pelo fato de F(t)=0 fora de (0,1) num período, as integrais vão de 0 a 1.
a0=12integral0^2F(t),dt =12integral0^1(t-t^2),dt =12l[tfract^22-tfract^33r]0^1 =112
Para n>=1:
an=integral0^2F(t)cos(npi t),dt =integral0^1(t-t^2)cos(npi t),dt,
bn=integral0^2F(t)sin(npi t),dt =integral0^1(t-t^2)sin(npi t),dt

Passo 3

Fazendo integrações por partes (detalhes omitidos por brevidade), chega-se a
an=-(-1)^n+1n^2pi^2, bn=2l(1-(-1)^nr)n^3pi^3
Observações: para n par, (-1)^n=1 an=-2/(n^2pi^2) e bn=0. Para n ímpar, (-1)^n=-1 an=0 e bn=4/(n^3pi^3).

Passo 4

Escrevendo a série de Fourier completa:
F(t) =112 +sumn=1^inftyl(-(-1)^n+1n^2pi^2cos(npi t) +2l(1-(-1)^nr)n^3pi^3sin(npi t)r)
Logo a solução particular periódica é
xp(t) =a010 +sumn=1^infty 1,10-(npi)^2, l(ancos(npi t)+bnsin(npi t)r)
Substituindo a0,an,bn:
xp(t) =1120 +sumn=1^infty 110-(npi)^2 l( -(-1)^n+1n^2pi^2cos(npi t) +2l(1-(-1)^nr)n^3pi^3sin(npi t) r)

Resposta

boxed xp(t) =1120 +sumn=1^infty -l((-1)^n+1r),cos(npi t),n^2pi^2l(10-(npi)^2r)! +sumn=1^infty 2l(1-(-1)^nr),sin(npi t),n^3pi^3l(10-(npi)^2r)! !

Exercícios relacionados