Resolva os seguintes problemas de Sturm-Liouville, ou seja, determine os autovalores e as autofunções do problema de contorno, nos seguintes casos:
2. Considere o seguinte problema de Sturm-Liouville
(a) Mostre que lambda=0 é um autovalor com autofunção y0(x)=x;
(b) Mostre que lambda=-alpha^2 com alpha>0 não é um autovalor, pois se fosse o sistema de equações
l y=x y=tgh(x)
admitira uma solução soluções negativas. Portanto, o problema em questão não admite autovalores negativos;
(c) Mostre que existe uma sequência de autovalores positivos lambdan=alphan^2 com alphan>0(n=1,2,3, ldots). Ela é dada pelas sequências crescentes de raízes positivas do sistema de equações (interseções dos gráficos)
l y=x y=tg(x)
E, neste caso, as autofunções associadas são da forma yn(x)=sen(alphan x).
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de Sturm–Liouville
y''+lambda y=0, y(0)=0, y(1)-y'(1)=0
e pede os autovalores lambda e as autofunções associadas. Vamos estudar os três casos típicos de lambda: nulo, negativo e positivo, sempre aplicando a solução geral da EDO e impondo as condições de contorno.
Passo 2
Caso lambda=0. A equação y''=0 tem solução geral
y(x)=A,x+B
Da condição y(0)=0 vem B=0, logo y(x)=A,x. A outra condição é
y(1)-y'(1)=Acdot1 - A =0,
que é satisfeita para qualquer Aneq0. Concluímos que
lambda0=0 é autovalor, com autofunção y0(x)=x éçã
Passo 3
Caso lambda=-alpha^2 com alpha>0. A equação fica
y''-alpha^2y=0,
cuja solução geral pode ser escrita como
y(x)=Ccosh(alpha x)+Dsinh(alpha x)
De y(0)=0 segue C=0, então y(x)=D,sinh(alpha x). A condição em x=1 dá
Mas para alpha>0 a função tanhalpha<1 e alpha>=1 já é >=1, e de fato não há solução positiva de tanhalpha=alpha. Logo não existem autovalores negativos.
Passo 4
Caso lambda=alpha^2 com alpha>0. A equação é
y''+alpha^2y=0,
com solução geral
y(x)=Acos(alpha x)+Bsin(alpha x)
Da condição y(0)=0 vem A=0, ou seja y(x)=Bsin(alpha x). A segunda condição dá
Essa equação tanalpha=alpha tem infinitas raízes positivas alphan crescentes (n=1,2,dots). Portanto os autovalores são
lambdan=alphan^2,
e as autofunções associadas (até constante multiplicativa) são
yn(x)=sin(alphan x)
Resposta
(a) lambda0=0 com y0(x)=x.
(b) Não há autovalores negativos lambda=-alpha^2.
(c) Há sequência infinita de autovalores positivos lambdan=alphan^2, onde alphan>0 são as raízes de tanalpha=alpha, e as autofunções são yn(x)=sin(alphan x).