Resolva os seguintes problemas de Sturm-Liouville, ou seja, determine os autovalores e as autofunções do problema de contorno, nos seguintes casos:
x^2 y^prime prime+2 x y+lambda y=0 com y(1)=0=y^prime(e^2) (Equação de Euler)

Passo 1

O problema de Sturm–Liouville é
x^2y''+2xy'+lambda y=0, y(1)=0, y'l(e^2r)=0,
que é uma equação de Euler. Vamos usar o ansatz y=x^m para transformar em uma equação algébrica de m.

Passo 2

Substituindo y=x^m obtemos
x^2l(m(m-1)x^m-2r)+2xl(mx^m-1r)+lambda x^m=0 ;Longrightarrow; m(m-1)+2m+lambda=0,
isto é, a equação característica
m^2+m+lambda=0

Passo 3

As raízes são
m=-1pmraiz1-4lambda2
Para valores de lambda tais que 1-4lambda<0 (caso típico de autovalores), definimos
mu=raiz4lambda-12,
e então
m=-tfrac12pm imu
A solução geral fica
y(x) = x^-1/2l[C1cosl(muln xr)+C2sinl(muln xr)r]

Passo 4

Impondo y(1)=0 temos ln1=0 e
y(1)=1^-1/2[C1cos0+C2sin0]=C1=0
Logo C1=0 e
y(x)=C2,x^-1/2sinl(muln xr)

Passo 5

Precisamos de y'(e^2)=0. Escrevendo u=ln x, temos
y(x)=C2e^-u/2sin(mu u), dydx=1xdydu
Calculando
dydu =C2l(-tfrac12e^-u/2sin(mu u)+mu e^-u/2cos(mu u)r),
logo em u=2 (isto é, x=e^2):
y'(e^2) =C2e^-3l(-tfrac12sin(2mu)+mucos(2mu)r)=0
Como C2neq0, vem
-tfrac12sin(2mu)+mucos(2mu)=0 ;Longrightarrow; tan(2mu)=2mu

Passo 6

Os valores de mu>0 que satisfazem
tan(2mu)=2mu
são uma sequência munn=1^infty. Desses mun obtemos os autovalores
lambdan =4mun^2+14, n=1,2,3,dots
e as autofunções associadas (até constante de normalização)
yn(x) =x^-1/2sinl(munln xr)

Resposta

Os autovalores são os lambdan=tfrac4mun^2+14, onde mun>0 resolve
tan(2mun)=2mun,
e as autofunções correspondentes são
yn(x)=x^-1/2sinl(munln xr)

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