Resolva os seguintes problemas de Sturm-Liouville, ou seja, determine os autovalores e as autofunções do problema de contorno, nos seguintes casos:
(Equação de Euler)
Passo 1
O problema de Sturm–Liouville é
que é uma equação de Euler. Vamos usar o ansatz
para transformar em uma equação algébrica de
.
Passo 2
Substituindo
obtemos
isto é, a equação característica
Passo 3
As raízes são
Para valores de
tais que
(caso típico de autovalores), definimos
e então
A solução geral fica
Passo 4
Impondo
temos
e
Logo
e
Passo 5
Precisamos de
. Escrevendo
, temos
Calculando
logo em
(isto é,
):
Como
, vem
Passo 6
Os valores de
que satisfazem
são uma sequência
. Desses
obtemos os autovalores
e as autofunções associadas (até constante de normalização)
Resposta
Os autovalores são os
, onde
resolve
e as autofunções correspondentes são