Inverta a ordem de integraça nos seguintes casos:
Passo 1
Estamos com dois integrais duplos em que o enunciado já dá a ordem
:
(a)
(a)
(b)
A tarefa é descrever cada região de integração em termos de
primeiro, depois
, e escrever o integral trocando a ordem de integração. Vamos identificar o domínio em cada caso, achar o intervalo de
e, para cada faixa de
, encontrar os limites em
.
Passo 2
Caso (a): a região
é
A curva de baixo é
(arco de circunferência com pico em
), e a de cima é
. O
mínimo no domínio vale
(em
) e o máximo vale
(em
). Ao olhar horizontalmente, para um dado
na faixa
, precisamos achar os
tais que
onde
e também
Passo 3
Dessa condição conjunta, para
temos
ativa e então
Para
, o arco de circunferência não existe (pois
), logo a única restrição é
até
. Portanto o domínio invertido fica em duas partes.
Passo 4
Escrevendo o integral (a) com
trocado por
, dá
Passo 5
Caso (b): a região
é
A curva de baixo é
(parábola com vértice em
), e a de cima é
. O menor
ocorre em
valendo
, e o maior em
. Para um
fixo, as condições são
válido para
, e também
mas essa só importa quando
(pois para
vale trivialmente
).
Passo 6
Dividindo em
e
:
- Para
, basta
. - Para
, além de temos , e observa-se que nessa faixa, então
Assim o integral (b) invertido fica
Resposta
(a)
(b)