Inverta a ordem de integraça nos seguintes casos:
\left.\int_{0}^{1} \int_{\sqrt{x-x^{2}}}^{\sqrt{2 x}} f(x, y) d y d x ; f\right) \int_{0}^{3} \int_{x^{2}-2 x}^{\sqrt{3 x}}\'

Passo 1

Estamos com dois integrais duplos em que o enunciado já dá a ordem dx\,dy:
(a)
\int_{0}^{1}\int_{\sqrt{x-x^{2}}}^{\sqrt{2x}}f(x,y)\,dy\,dx
(b)
\int_{0}^{3}\int_{x^{2}-2x}^{\sqrt{3x}}f(x,y)\,dy\,dx
A tarefa é descrever cada região de integração em termos de y primeiro, depois x, e escrever o integral trocando a ordem de integração. Vamos identificar o domínio em cada caso, achar o intervalo de y e, para cada faixa de y, encontrar os limites em x.

Passo 2

Caso (a): a região R é
0\le x\le1,\quad \sqrt{x-x^{2}}\;\le y\le\sqrt{2x}.
A curva de baixo é y=\sqrt{x-x^{2}} (arco de circunferência com pico em (\tfrac12,\tfrac12)), e a de cima é y=\sqrt{2x}. O y mínimo no domínio vale 0 (em x=0) e o máximo vale \sqrt{2} (em x=1). Ao olhar horizontalmente, para um dado y na faixa [0,\sqrt2], precisamos achar os x tais que
\sqrt{x-x^2}\le y \quad\Longleftrightarrow\quad x-x^2\le y^2 \quad\Longleftrightarrow\quad x\in\bigl[0,x_{-}\bigr]\cup\bigl[x_{+},1\bigr],
onde
x_{\pm}=\frac{1\pm\sqrt{1-4y^2}}{2},
e também
y\le\sqrt{2x} \quad\Longleftrightarrow\quad x\ge\frac{y^2}{2}.

Passo 3

Dessa condição conjunta, para 0\le y\le\tfrac12 temos \sqrt{x-x^2} ativa e então
x\in\Bigl[\frac{y^2}{2},\,x_{-}\Bigr]\;\cup\;\Bigl[x_{+},\,1\Bigr].
Para \tfrac12\le y\le\sqrt2, o arco de circunferência não existe (pois 1-4y^2<0), logo a única restrição é x\ge y^2/2 até x\le1. Portanto o domínio invertido fica em duas partes.

Passo 4

Escrevendo o integral (a) com dy\,dx trocado por dx\,dy, dá
\int_{0}^{\tfrac12} \Biggl( \int_{\frac{y^2}{2}}^{\frac{1-\sqrt{1-4y^2}}{2}}f(x,y)\,dx \;+\; \int_{\frac{1+\sqrt{1-4y^2}}{2}}^{1}f(x,y)\,dx \Biggr)dy \;+\; \int_{\tfrac12}^{\sqrt2} \Bigl( \int_{\frac{y^2}{2}}^{1}f(x,y)\,dx \Bigr)dy.

Passo 5

Caso (b): a região S é
0\le x\le3,\quad x^{2}-2x\le y\le\sqrt{3x}.
A curva de baixo é y=x^2-2x (parábola com vértice em (1,-1)), e a de cima é y=\sqrt{3x}. O menor y ocorre em (1,-1) valendo -1, e o maior em (3,\sqrt9)=(3,3). Para um y fixo, as condições são
x^2-2x\le y \quad\Longleftrightarrow\quad x\in\bigl[\,1-\sqrt{1+y}\,,\,1+\sqrt{1+y}\bigr],
válido para -1\le y\le3, e também
y\le\sqrt{3x} \quad\Longleftrightarrow\quad x\ge\frac{y^2}{3},
mas essa só importa quando y\ge0 (pois para y<0 vale trivialmente \sqrt{3x}\ge0>y).

Passo 6

Dividindo em -1\le y\le0 e 0\le y\le3:
  • Para -1\le y\le0, basta
    \;x\in[\,1-\sqrt{1+y},\,1+\sqrt{1+y}].
  • Para 0\le y\le3, além de x^2-2x\le y temos x\ge y^2/3, e observa-se que y^2/3\ge1-\sqrt{1+y} nessa faixa, então
    \;x\in\bigl[y^2/3,\;1+\sqrt{1+y}\bigr]. Assim o integral (b) invertido fica
\int_{-1}^{0} \Bigl( \int_{1-\sqrt{1+y}}^{\,1+\sqrt{1+y}}f(x,y)\,dx \Bigr)dy \;+\; \int_{0}^{3} \Bigl( \int_{\frac{y^2}{3}}^{\,1+\sqrt{1+y}}f(x,y)\,dx \Bigr)dy.

Resposta

(a)
\int_{0}^{\tfrac12} \Biggl( \int_{\frac{y^2}{2}}^{\frac{1-\sqrt{1-4y^2}}{2}}f(x,y)\,dx \;+\; \int_{\frac{1+\sqrt{1-4y^2}}{2}}^{1}f(x,y)\,dx \Biggr)dy \;+\; \int_{\tfrac12}^{\sqrt2} \Bigl( \int_{\frac{y^2}{2}}^{1}f(x,y)\,dx \Bigr)dy.
(b)
\int_{-1}^{0} \Bigl( \int_{1-\sqrt{1+y}}^{\,1+\sqrt{1+y}}f(x,y)\,dx \Bigr)dy \;+\; \int_{0}^{3} \Bigl( \int_{\frac{y^2}{3}}^{\,1+\sqrt{1+y}}f(x,y)\,dx \Bigr)dy.

Exercícios relacionados